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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM I - Folgen, Reihen, stetige Funktionen

Konvergenz von Folgen

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Begriff.

Eine Folge komplexer Zahlen $ \mbox{$(a_n)_{n\geq m}$}$, wobei $ \mbox{$m\in\mathbb{Z}$}$, konvergiert gegen $ \mbox{$a\in\mathbb{C}$}$, falls es zu jedem reellen $ \mbox{$\varepsilon > 0$}$ eine Schranke $ \mbox{$M\geq m$}$ gibt mit

$ \mbox{$\displaystyle \vert a_n - a\vert \; < \; \varepsilon \hspace*{1cm} {\mbox{f\uml ur alle {$\mbox{$n\geq M$}$}}}\; . $}$
Eine Folge $ \mbox{$(a_n)_{n\geq m}$}$ heißt konvergent, falls es ein $ \mbox{$a\in\mathbb{C}$}$ gibt, gegen welches die Folge konvergiert. Dieser Grenzwert ist diesenfalls eindeutig bestimmt, und wir schreiben $ \mbox{$a =: \lim_{n\to\infty} a_n$}$, oder auch einfach $ \mbox{$a_n \to a$}$ (für $ \mbox{$n\to\infty$}$).

Ist $ \mbox{$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$}$, oder äquivalent, ist $ \mbox{$\lim_{n\to\infty} \vert a_n\vert = 0$}$, so heißt $ \mbox{$(a_n)_n$}$ eine Nullfolge.

Nicht konvergente Folgen heißen divergent.

Bestimmt divergente Folgen.

Es sei $ \mbox{$(a_n)_{n\geq m}$}$ eine reellwertige Folge. Gibt es für alle $ \mbox{$e > 0$}$ eine Schranke $ \mbox{$M\geq m$}$ mit $ \mbox{$a_n > e$}$ für alle $ \mbox{$n\geq M$}$, so heißt $ \mbox{$(a_n)_{n\geq m}$}$ bestimmt divergent gegen $ \mbox{$+\infty$}$, und wir schreiben auch $ \mbox{$\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty$}$ oder $ \mbox{$a_n\to +\infty$}$ (ohne daß dies eine Konvergenzbehauptung einschließt).

Gibt es für alle $ \mbox{$e > 0$}$ eine Schranke $ \mbox{$M\geq m$}$ mit $ \mbox{$a_n < -e$}$ für alle $ \mbox{$n\geq M$}$, so heißt $ \mbox{$(a_n)_{n\geq m}$}$ bestimmt divergent gegen $ \mbox{$-\infty$}$, und wir schreiben auch $ \mbox{$\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$}$ oder $ \mbox{$a_n\to -\infty$}$.

Regeln.

Seien $ \mbox{$(a_n)_n$}$, $ \mbox{$(b_n)_n$}$ konvergente Folgen, seien $ \mbox{$\lambda,\mu\in\mathbb{C}$}$. Es gelten die folgenden Grenzwertregeln.

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{n\to\infty} (\lambda a_n + \mu ... ... & = & (\lim_{n\to\infty} a_n) \cdot (\lim_{n\to\infty} b_n) \\ \end{array}$}$
Ist $ \mbox{$(b_n)_n$}$ dazuhin keine Nullfolge, so gibt es ein $ \mbox{$m\in\mathbb{Z}$}$ mit $ \mbox{$b_n\neq 0$}$ für $ \mbox{$n\geq m$}$. Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \lim_{n\to\infty} (a_n / b_n) \; = \; (\lim_{n\to\infty} a_n) / (\lim_{n\to\infty} b_n) \; . $}$

Ist $ \mbox{$(a_n)_n$}$ eine reellwertige bestimmt divergente Folge, so ist $ \mbox{$(1/a_n)_n$}$ eine Nullfolge.

Folgen definiert durch rationale Funktionen.

Ist $ \mbox{$P(x)$}$ ein reelles Polynom von Grad $ \mbox{$\geq 1$}$, so ist die Folge $ \mbox{$(P(n))_n$}$ bestimmt divergent, und zwar gegen $ \mbox{$+\infty$}$ bzw. gegen $ \mbox{$-\infty$}$, falls der führende Koeffizient von $ \mbox{$P(x)$}$ positiv bzw. negativ ist.

Speziell sind zum Beispiel die Folgen $ \mbox{$(1/n)_n$}$, $ \mbox{$(1/n^2)_n$}$, etc. Nullfolgen.

Sind $ \mbox{$P(x) = \sum_{j = 0}^k p_j x^j$}$ und $ \mbox{$Q(x) = \sum_{j = 0}^l q_j x^j$}$ komplexe Polynome, sei $ \mbox{$q_l\neq 0$}$, und hat man die Folge $ \mbox{$(P(n)/Q(n))_n$}$ auf Konvergenz zu untersuchen, so kürze man diesen Bruch mit $ \mbox{$n^l$}$ und wende dann die Grenzwertregeln an.

Einfache Kriterien.

Jede konvergente Folge ist beschränkt. Ist $ \mbox{$(a_n)_n$}$ beschränkt und $ \mbox{$(b_n)_n$}$ eine Nullfolge, so ist auch $ \mbox{$(a_n b_n)_n$}$ eine Nullfolge.

Seien nun $ \mbox{$(a_n)_n$}$, $ \mbox{$(b_n)_n$}$ und $ \mbox{$(x_n)_n$}$ reellwertige Folgen mit $ \mbox{$a_n\leq x_n \leq b_n$}$ für alle $ \mbox{$n$}$, und mit $ \mbox{$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n$}$. Dann ist nach dem Vergleichskriterium

$ \mbox{$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \; =\; \lim_{n\to\infty} x_n \; =\; \lim_{n\to\infty} b_n\; . $}$

Sei schließlich $ \mbox{$(a_n)_{n\geq m}$}$ eine monotone beschränkte Folge. Dann ist $ \mbox{$(a_n)_{n\geq m}$}$ nach dem Monotoniekriterium konvergent. Ist $ \mbox{$(a_n)_{n\geq m}$}$ monoton wachsend, so ist $ \mbox{$\lim_{n\to\infty} a_n = \sup\{a_n \; \vert\; n\geq m\}$}$; ist $ \mbox{$(a_n)_{n\geq m}$}$ monoton fallend, so ist $ \mbox{$\lim_{n\to\infty} a_n = \inf\{a_n \; \vert\; n\geq m\}$}$.

Limes superior, Limes inferior.

Sei $ \mbox{$(a_n)_{n\geq 0}$}$ eine Folge reeller Zahlen. Eine Teilfolge von $ \mbox{$(a_n)_n$}$ ist eine Folge der Form $ \mbox{$(a_{t(n)})_n$}$, wobei $ \mbox{$t:\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}$}$ eine streng monoton wachsende Folge ist.

Ein Punkt $ \mbox{$h\in\hat {\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$}$ heißt Häufungspunkt von $ \mbox{$(a_n)_n$}$, wenn es eine Teilfolge $ \mbox{$(a_{t(n)})_n$}$ gibt mit $ \mbox{$\lim_{n\to\infty} a_{t(n)} = h$}$.

Nach Bolzano-Weierstraß hat jede reelle Folge wenigstens einen Häufungspunkt in $ \mbox{$\hat {\mathbb{R}}$}$.

Eine Folge ist konvergent, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt, und dieser in $ \mbox{$\mathbb{R}$}$ liegt.

Sei $ \mbox{$H\subseteq \hat {\mathbb{R}}$}$ die Menge der Häufungspunkte von $ \mbox{$(a_n)_n$}$. Es ist der Limes inferior von $ \mbox{$(a_n)_n$}$ gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle \underline {\lim}_{n\to\infty} a_n \; :=\; \inf H\; =\; \min H\; , $}$
und analog der Limes superior von $ \mbox{$(a_n)_n$}$ durch
$ \mbox{$\displaystyle \overline {\lim}_{n\to\infty} a_n \; :=\; \sup H\; =\; \max H\; . $}$
Ist $ \mbox{$h\in\mathbb{R}$}$, und liegen für jedes $ \mbox{$\varepsilon > 0$}$ nur endlich viele Folgenglieder über $ \mbox{$h + \varepsilon $}$, aber unendlich viele über $ \mbox{$h - \varepsilon $}$, so ist $ \mbox{$h = \overline {\lim}_{n\to\infty} a_n$}$. Liegen für jedes $ \mbox{$\varepsilon > 0$}$ nur endlich viele Folgenglieder unter $ \mbox{$h - \varepsilon $}$, aber unendlich viele unter $ \mbox{$h + \varepsilon $}$, so ist $ \mbox{$h = \underline {\lim}_{n\to\infty} a_n$}$.

Ist die Folge $ \mbox{$(a_n)_n$}$ nach oben unbeschränkt, so ist $ \mbox{$\overline {\lim}_{n\to\infty} a_n = + \infty$}$; ist sie nach unten unbeschränkt, so ist $ \mbox{$\underline {\lim}_{n\to\infty} a_n = -\infty$}$.

Stimmen Limes inferior und Limes superior überein, so ist $ \mbox{$\lim_{n\to\infty} a_n = \underline {\lim}_{n\to\infty} a_n = \overline {\lim}_{n\to\infty} a_n$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

Beispiele

Aufgaben

  automatisch erstellt am 18.6.2004