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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM I - Folgen, Reihen, stetige Funktionen

Exponentialfunktion und Logarithmus


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Exponentialfunktion.

Die Exponentialfunktion ist eine komplexe Funktion, definiert durch

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\mathbb{C}& \unitlength.1mm\begin{pic...
...z) \; :=\; \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{\! n}\; .
\end{array}$}$
Als Potenzreihe ergibt sich
$ \mbox{$\displaystyle
\exp(z) \; =\; \sum_{n = 0}^\infty \frac{z^n}{n!}\; ,
$}$
worauf wir später nochmals eingehen werden.

Die Zahl $ \mbox{$e := \exp(1) = \lim(1+\frac{1}{n})^n$}$ heißt Eulersche Zahl. Es ist $ \mbox{$e = 2.71828182845\ldots$}$.

Ist $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$, so ist auch $ \mbox{$\exp(x)\in\mathbb{R}$}$.

Es gelten die folgenden Rechenregeln für $ \mbox{$z,w\in\mathbb{C}$}$ und $ \mbox{$x,y\in\mathbb{R}$}$.

Insbesondere ist $ \mbox{$\exp(x) = e^x$}$ für $ \mbox{$x\in\mathbb{Q}$}$, z.B. $ \mbox{$\exp(-2/3) = \sqrt[3]{e^{-2}}$}$.

Die reelle Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend und nimmt alle positiven Werte an.

Der Graph der reellen Exponentialfunktion hat folgende Gestalt.


\includegraphics[width=10cm]{exp.eps}



Logarithmus.

Wegen der strengen Monotonie der reellen Exponentialfunktion besitzt sie eine Umkehrfunktion

$ \mbox{$\displaystyle
\log\; : \mathbb{R}_{>0}\longrightarrow \mathbb{R}\;,\;\; x\mapsto \log x\ ,
$}$
den Logarithmus.

Für $ \mbox{$x,y\in\mathbb{R}_{>0}$}$ gelten die folgenden Rechenregeln.

Ferner gelten folgende Zusammenhänge zwischen der Exponentialfunktion und dem Logarithmus.

Der Logarithmus ist streng monoton wachsend und nimmt alle reellen Werte an.

Der Graph des Logarithmus hat folgende Gestalt.


\includegraphics[width=10cm]{log.eps}



Allgemeine Potenzfunktion.

Für $ \mbox{$a>0$}$ und $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ definiert man die allgemeine Potenzfunktion durch

$ \mbox{$\displaystyle
a^z\; :=\; \exp(z\log a)\ .
$}$
Diese Definition stimmt im Fall $ \mbox{$z\in\mathbb{Q}$}$ mit der üblichen Bedeutung überein. Z.B. ist $ \mbox{$2^{3/5} = \exp(\frac{3}{5}\log 2) = \sqrt[5]{\exp(3\log 2)} = \sqrt[5]{\exp(\log(2^3))} = \sqrt[5]{2^3}$}$.

Für $ \mbox{$a,b>0$}$, $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$ und $ \mbox{$z,w\in\mathbb{C}$}$ gelten die folgenden Rechenregeln.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

Beispiele

Aufgaben


  automatisch erstellt am 18.6.2004