Eigenschaften der Gruppe G25 mit Hilfe von GAP

Permutationsdarstellung der G25

	pgr25:=function()
	local d,g,sg,p;
	d:=FreeGroup("a","b","c");
	g:=d/[d.1^3,d.2^3,d.3^3,d.1*d.2*d.1*d.2^2*d.1^2*d.2^2,d.2*d.3*d.2*d.3^2*d.2^2*d.3^2,d.1*d.3*d.1^2*d.3^2];
	sg:=Subgroup(g,[g.1,g.2]);
	p:=Image(ActionHomomorphism(g,RightTransversal(g,sg),OnRight));
	return p;
	end;
	

Ergebnisse

	G25:=pgr25();
	
	gap> Size(G25);
	648
	
	gap> N25:=NormalSubgroups(G25);;
	
	gap> NTSize(N25);
	Groesse des 1. Normalteilers: 1
	Groesse des 2. Normalteilers: 3
	Groesse des 3. Normalteilers: 27
	Groesse des 4. Normalteilers: 54
	Groesse des 5. Normalteilers: 216
	Groesse des 6. Normalteilers: 648
	
	gap> Centre(G25);
	Group([ ( 1,27,18)( 2,21,20)( 3,17,24)( 4,25,13)( 5,22,26)( 6,16,15)( 7,19, 9)
	    ( 8,12,23)(10,14,11) ])
	
	gap> Size(Centre(G25));
	3
	
	gap> IsSolvable(G25);
	true
	
	gap> CompositionSeries(G25);
	[ <permutation group of size 648 with 7 generators>, 
	  <permutation group of size 216 with 6 generators>, 
	  <permutation group of size 108 with 5 generators>, 
	  <permutation group of size 54 with 4 generators>, 
	  Group([ ( 1,19,24)( 2,10,12)( 3,27, 9)( 4,15, 5)( 6,22,25)( 7,17,18)
	        ( 8,20,11)(13,16,26)(14,23,21), 
	      ( 1,25,20)( 2,27,13)( 3,22,23)( 4,21,18)( 5,12,24)( 6,10, 7)( 8,17,26)
	        ( 9,15,11)(14,19,16), ( 1,27,18)( 2,21,20)( 3,17,24)( 4,25,13)
	        ( 5,22,26)( 6,16,15)( 7,19, 9)( 8,12,23)(10,14,11) ]), 
	  Group([ ( 1,25,20)( 2,27,13)( 3,22,23)( 4,21,18)( 5,12,24)( 6,10, 7)
	        ( 8,17,26)( 9,15,11)(14,19,16), 
	      ( 1,27,18)( 2,21,20)( 3,17,24)( 4,25,13)( 5,22,26)( 6,16,15)( 7,19, 9)
	        ( 8,12,23)(10,14,11) ]), 
	  Group([ ( 1,27,18)( 2,21,20)( 3,17,24)( 4,25,13)( 5,22,26)( 6,16,15)
	        ( 7,19, 9)( 8,12,23)(10,14,11) ]), Group(()) ]
	

Charaktertafel

	gap> ct25:=CharacterTable(G25);
	CharacterTable( Group(
	[ ( 3, 5, 8)( 6, 9,14)( 7,11,16)(10,15,19)(12,17,22)(23,24,26), 
	  ( 2, 3, 6)( 4, 7,12)( 8,13, 9)(15,20,24)(16,21,17)(19,23,25), 
	  ( 1, 2, 4)( 6,10, 7)( 9,15,11)(13,18,20)(14,19,16)(21,25,27) ]) )
	
	gap> Display(ct25);
	CT1
	
	      2  3  3  3  .  3   3   3  2   2   2   1   1   1   .   1   1   1   1   1
	      3  4  4  4  3  2   2   2  1   1   1   3   3   3   2   2   2   2   3   3
	
	        1a 3a 3b 3c 2a  6a  6b 4a 12a 12b  3d  3e  3f  9a  6c  6d  6e  3g  3h
	     2P 1a 3b 3a 3c 1a  3b  3a 2a  6b  6a  3g  3i  3h  9b  3g  3i  3h  3d  3f
	     3P 1a 1a 1a 1a 2a  2a  2a 4a  4a  4a  1a  1a  1a  3b  2a  2a  2a  1a  1a
	     5P 1a 3b 3a 3c 2a  6b  6a 4a 12b 12a  3g  3i  3h  9b  6f  6h  6g  3d  3f
	     7P 1a 3a 3b 3c 2a  6a  6b 4a 12a 12b  3d  3e  3f  9a  6c  6d  6e  3g  3h
	    11P 1a 3b 3a 3c 2a  6b  6a 4a 12b 12a  3g  3i  3h  9b  6f  6h  6g  3d  3f
	
	X.1      1  1  1  1  1   1   1  1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1
	X.2      1  1  1  1  1   1   1  1   1   1 -/D -/D -/D -/D -/D -/D -/D  -D  -D
	X.3      1  1  1  1  1   1   1  1   1   1  -D  -D  -D  -D  -D  -D  -D -/D -/D
	X.4      2  2  2  2 -2  -2  -2  .   .   .  -1  -1  -1  -1   1   1   1  -1  -1
	X.5      2  2  2  2 -2  -2  -2  .   .   .   D   D   D   D  -D  -D  -D  /D  /D
	X.6      2  2  2  2 -2  -2  -2  .   .   .  /D  /D  /D  /D -/D -/D -/D   D   D
	X.7      3  3  3  3  3   3   3 -1  -1  -1   .   .   .   .   .   .   .   .   .
	X.8      3  A /A  . -1   D  /D  1  -D -/D   F -/F   G   .   D  /D  -1  /F  -G
	X.9      3  A /A  . -1   D  /D  1  -D -/D   G   F -/F   .  -1   D  /D  -G  -F
	X.10     3  A /A  . -1   D  /D  1  -D -/D -/F   G   F   .  /D  -1   D  -F  /F
	X.11     3 /A  A  . -1  /D   D  1 -/D  -D  /F  -F  -G   .  /D   D  -1   F   G
	X.12     3 /A  A  . -1  /D   D  1 -/D  -D  -G  /F  -F   .  -1  /D   D   G -/F
	X.13     3 /A  A  . -1  /D   D  1 -/D  -D  -F  -G  /F   .   D  -1  /D -/F   F
	X.14     6  B /B  .  2   E  /E  .   .   .  /F  -G  -F   .  /D  -1   D   F -/F
	X.15     6  B /B  .  2   E  /E  .   .   .  -F  /F  -G   .   D  /D  -1 -/F   G
	X.16     6  B /B  .  2   E  /E  .   .   .  -G  -F  /F   .  -1   D  /D   G   F
	X.17     6 /B  B  .  2  /E   E  .   .   .   F   G -/F   .   D  -1  /D  /F  -F
	X.18     6 /B  B  .  2  /E   E  .   .   . -/F   F   G   .  /D   D  -1  -F  -G
	X.19     6 /B  B  .  2  /E   E  .   .   .   G -/F   F   .  -1  /D   D  -G  /F
	X.20     8  8  8 -1  .   .   .  .   .   .   2   2   2  -1   .   .   .   2   2
	X.21     8  8  8 -1  .   .   .  .   .   .  /E  /E  /E  /D   .   .   .   E   E
	X.22     8  8  8 -1  .   .   .  .   .   .   E   E   E   D   .   .   .  /E  /E
	X.23     9  C /C  . -3  -A -/A -1   D  /D   .   .   .   .   .   .   .   .   .
	X.24     9 /C  C  . -3 -/A  -A -1  /D   D   .   .   .   .   .   .   .   .   .
	
	      2   1   .   1   1   1
	      3   3   2   2   2   2
	
	         3i  9b  6f  6g  6h
	     2P  3e  9a  3d  3f  3e
	     3P  1a  3a  2a  2a  2a
	     5P  3e  9a  6c  6e  6d
	     7P  3i  9b  6f  6g  6h
	    11P  3e  9a  6c  6e  6d
	
	X.1       1   1   1   1   1
	X.2      -D  -D  -D  -D  -D
	X.3     -/D -/D -/D -/D -/D
	X.4      -1  -1   1   1   1
	X.5      /D  /D -/D -/D -/D
	X.6       D   D  -D  -D  -D
	X.7       .   .   .   .   .
	X.8      -F   .  /D  -1   D
	X.9      /F   .  -1   D  /D
	X.10     -G   .   D  /D  -1
	X.11    -/F   .   D  -1  /D
	X.12      F   .  -1  /D   D
	X.13      G   .  /D   D  -1
	X.14      G   .   D  /D  -1
	X.15      F   .  /D  -1   D
	X.16    -/F   .  -1   D  /D
	X.17     -G   .  /D   D  -1
	X.18     /F   .   D  -1  /D
	X.19     -F   .  -1  /D   D
	X.20      2  -1   .   .   .
	X.21      E   D   .   .   .
	X.22     /E  /D   .   .   .
	X.23      .   .   .   .   .
	X.24      .   .   .   .   .
	
	A = 3*E(3)^2
	  = (-3-3*ER(-3))/2 = -3-3b3
	B = 6*E(3)^2
	  = -3-3*ER(-3) = -3-3i3
	C = 9*E(3)^2
	  = (-9-9*ER(-3))/2 = -9-9b3
	D = -E(3)^2
	  = (1+ER(-3))/2 = 1+b3
	E = 2*E(3)^2
	  = -1-ER(-3) = -1-i3
	F = 2*E(3)+E(3)^2
	  = (-3+ER(-3))/2 = -1+b3
	G = -E(3)+E(3)^2
	  = -ER(-3) = -i3
	
	gap> quit;