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Mathematik-Online-Kurs: GAP - Eine Einführung - Aufgaben

Aufgabe 9

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Sei $ G$ eine endliche Gruppe. Unter einer pc - Darstellung (power conjugate) versteht man eine Präsentation von $ G$ in Erzeugenden $ \{a_1, \ldots a_n \}$ und Relationen folgender Form:

$\displaystyle a_i^{r_i} = a_{i+1}^{m(i,i,i+1)} \cdot \ldots \cdot a_{n}^{m(i,i,n} \forall 1 \leq i \leq n $

bzw.

$\displaystyle a_i^{-1}a_j a_i = a_{i+1}^{m(i,j,i+1)} \cdot \ldots \cdot a_{n}^{m(i,j,n} \forall 1 \leq i < j \leq n .$

a) Man berechne von der symmetrischen Gruppe $ S_4$ eine pc - Darstellung mit GAP. Geben Sie die Erzeuger als Permutationen (vom Grad 4) an .

b) Besitzt die alternierende Gruppe $ A_5$ eine pc - Darstellung ?

c) Man berechne von allen nichtabelschen Gruppen der Ordnung 8 bzw. 27 bzw. 16 eine solche Darstellung mit Hilfe von GAP.

Hinweis: Der Befehl SmallGroup(n,j) liefert die $ j-te$ Gruppe der Ordnung $ n$. NrSmallGrpous(n) liefert die Anzahl der Isomorphietypen von Gruppen der Ordnung $ n$.

(Aus: GAP-Computerpraktikum SS01)
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  automatisch erstellt am 7.1.2009