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Mathematik-Online-Kurs: Interaktive Aufgaben des Schülerzirkels - Jahrgang 2024/2025 - Serie 3 Jahrgang 2024/25

Klassenstufen 9,10

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Es sei $ p$ ein Polynom vom Grad $ n$ mit reellen Koeffizienten.

a) Wie viele reelle Nullstellen hat $ p$ höchstens?
    0 ,     $ 1$ ,     $ 2$ ,     $ n$ ,     $ n^2$ ,     $ 2^n$ .

b) Wie viele reelle Nullstellen hat $ p$ mindestens, wenn $ n$ gerade ist?
    0 ,     $ 1$ ,     $ 2$ ,     $ n$ ,     $ n^2$ ,     $ 2^n$ .

c) Wie viele reelle Nullstellen hat $ p$ mindestens, wenn $ n$ ungerade ist?
    0 ,     $ 1$ ,     $ 2$ ,     $ n$ ,     $ n^2$ ,     $ 2^n$ .
   

(Autor: Schülerzirkel)
a) Es ist die Gleichung

$\displaystyle 2\,x^4+k\,x^3+l\,x^2+m\,x+3\ =\ 0$    

mit irgendwelchen ganzen Zahlen $ k,l,m\in\mathbb{Z}$ gegeben.

Welche der folgenden Aussagen über mögliche rationale Lösungen ist wahr?

Im Prinzip kann jede rationale Zahl als Lösung auftreten.
Es gibt nie rationale Lösungen.
Alle rationalen Lösungen sind automatisch ganzzahlig und Teiler von 3.
Alle rationalen Lösungen sind automatisch ganzzahlig und Teiler von 2.
Rationale Lösungen können nur aus der Menge $ \{\pm1,\pm2,\pm\frac13,\pm\frac23\}$ sein.
Rationale Lösungen können nur aus der Menge $ \{\pm1,\pm3,\pm\frac12,\pm\frac32\}$ sein.

b) Es ist die Gleichung

$\displaystyle x^5+2\,x^4+k\,x^3+l\,x^2+m\,x+3\ =\ 0$    

mit irgendwelchen ganzen Zahlen $ k,l,m\in\mathbb{Z}$ gegeben.

Welche der folgenden Aussagen über mögliche rationale Lösungen ist wahr?

Im Prinzip kann jede rationale Zahl als Lösung auftreten.
Es gibt nie rationale Lösungen.
Alle rationalen Lösungen sind automatisch ganzzahlig und Teiler von 3.
Alle rationalen Lösungen sind automatisch ganzzahlig und Teiler von 2.
Rationale Lösungen können nur aus der Menge $ \{\pm1,\pm2,\pm\frac13,\pm\frac23\}$ sein.
Rationale Lösungen können nur aus der Menge $ \{\pm1,\pm3,\pm\frac12,\pm\frac32\}$ sein.

   

(Autor: Schülerzirkel)
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  automatisch erstellt am 18.12.2024