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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Einleitung - Erste Ergebnisse

Homomorphiesatz

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a)
Sei $ N$ ein Normalteiler der Gruppe $ G$. Dann ist die Abbildung

$\displaystyle \kappa : G \longrightarrow G/N \ : \ g \longmapsto gN $

ein surjektiver Gruppenhomorphismus. Man nennt $ \kappa$ die natürliche Projektion von $ G$ auf $ G/N$.
b)
Es sei $ \varphi$ ein Gruppenhomorphismus von $ G$ nach $ H$. Die Menge

$\displaystyle \ker(\varphi) = \left \{g\in G \ \vert \ \varphi(g)=1_H \right\} $

nennt man den Kern der Abbildung $ \varphi$. Der Kern $ \ker(\varphi)$ ist ein Normalteiler von $ G$ und es gilt

$\displaystyle G/\ker(\varphi) \cong \varphi(G) \,. $

Bemerkung: Bei der natürlichen Projektion $ \kappa$ gilt $ \ker(\kappa)=N$.

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a)
Für $ g_1,g_2 \in G$ gilt

$\displaystyle \kappa(g_1) \cdot \kappa(g_2)=g_1N \cdot g_2N= g_1g_2N =\kappa(g_1g_2)\,. $

Die Surjektivität ist klar.
b)
Setze $ K:=\ker(\varphi)$. Sei $ k \in K$, dann liegt auch $ k^{-1}$ im Kern, denn

$\displaystyle 1=\varphi(1)=\varphi(k \cdot k^{-1})=\varphi(k)\cdot \varphi(k^{-1}) \,. $

Offensichtlich ist auch $ 1 \in K$. Der Kern bildet also eine Untergruppe von $ G$. Ausserdem gilt für alle $ g \in G$

$\displaystyle \varphi(g^{-1} k g)=\varphi(g^{-1}) \cdot \varphi(k) \cdot \varphi(g)=(\varphi(g))^{-1} \cdot 1 \cdot \varphi(g)=1 \,. $

Also gilt $ g^{-1} k g \in K$ und $ K \unlhd G$.

Betrachte die Abbildung

$\displaystyle \alpha: G/K \longrightarrow \varphi(G) \ : \ gK \longmapsto \varphi(g) \, . $

Für $ g_1K=g_2K$ gibt es ein $ k \in K$ mit $ g_1=g_2k$. Es ist dann

$\displaystyle \varphi(g_1)=\varphi(g_2k)=\varphi(g_2)\varphi(k)=\varphi(g_2) \,. $

Die Abbildung $ \alpha$ ist also wohldefiniert und wegen

$\displaystyle \alpha(g_1K)\alpha(g_2K)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)=\varphi(g_1g_2)=\alpha(g_1g_2K) $

ein Homorphismus. Die Surjektivität von $ \alpha$ ist klar. Zum Beweis der Injektivität sei $ \alpha(g_1K)=\alpha(g_2K)$. Dann ist $ \varphi(g_1)=\varphi(g_2)$ und daher $ \varphi(g_1)\varphi(g_2)^{-1}=\varphi(g_1g_2^{-1})=1$. Das Produkt $ g_1g_2^{1}$ ist also Element des Kerns $ K$, d.h. es existiert ein $ k \in K$ mit $ g_1g_2^{-1}=k \ \Longleftrightarrow \ g_2=g_1k^{-1}$. Es gilt also $ g_1K=g_2K$ und damit ist $ \alpha$ injektiv. Insgesamt ist $ \alpha$ also ein Isomorphismus, und es gilt $ G/K \cong \varphi(G)$.
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  automatisch erstellt am 14.11.2008