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	Mathematik-Online-Kurs:
	Gruppentheorie

Gesamtverzeichnis:

• Einleitung
  • Grundlegende Definitionen und Notationen
    • Gruppe
    • Untergruppe
    • Untergruppenkriterium
    • Normalteiler
    • Direktes Produkt von Gruppen
    • Gruppenhomomorphismus
    • Notation von Gruppen
    • Gruppenordnung, Elementordnung
  • Beispiele
    • Lineare Gruppe
    • Symmetrische Gruppe
  • Erste Ergebnisse
    • Nebenklassen
    • Faktorgruppe
    • Gruppen vom Index 2
    • Satz von Lagrange
    • Homomorphiesatz
    • Isomorphiesätze
• Abelsche Gruppen
  • Grundbegriffe
    • Erzeuger einer abelschen Gruppe
    • Unzerlegbare abelsche Gruppen
  • Freie abelsche Gruppen
    • Rang einer freien abelschen Gruppe
    • Elementarteilersatz
  • Zyklische Gruppen
    • Klassifikation zyklischer Gruppen
    • Direktes Produkt und Produkt zyklischer Gruppen
    • Struktursatz endlicher zyklischer Gruppen
  • Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
    • Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
• Permutationsgruppen
  • Die symmetrische Gruppe
    • Signumsabbildung und alternierende Gruppe
    • Erzeuger der symmetrischen Gruppe
    • Partitionen
    • Die Konjugiertenklassen der symmetrischen Gruppe
  • Permutationsdarstellungen und G-Mengen
    • Permutationsdarstellung und G-Menge
    • Entsprechung von Permutationsdarstellung und G-Menge
    • Bahn; einfache, transitive, treue Permutationsdarstellung; Permutationsgruppe
    • Bahnenlemma
    • Das Cauchy-Frobenius-Lemma, "Lemma von Burnside"
    • Satz von Cayley
  • Der Satz von Sylow
    • Satz von Sylow; Sylowgruppen
    • Satz von Cauchy
    • Frattini-Argument
• Nilpotente, auflösbare und polyzyklische Gruppen
  • Kommutatoren, abgeleitete Reihe, Zentralreihen
    • Kommutator und Kommutatoruntergruppe
    • Eigenschaften von Kommutatoren
    • Abgeleitete Reihe; perfekte und auflösbare Gruppen
    • Aufsteigende und absteigende Zentralreihe; nilpotente Gruppen
    • Charakteristische Normalteiler
  • Polyzyklische Gruppen und Max - Bedingung
    • Polyzyklische Gruppen und Max - Bedingung
    • Eigenschaften der Max - Bedingung
    • Auflösbare und polyzyklische Gruppen
  • Struktur nilpotenter Gruppen
    • Aulösbarkeit und Nilpotenz
    • Erweiterungeigenschaft von Auflösbarkeit, Max - Bedingung und Nilpotenz
    • Struktursatz fur endliche nilpotente Gruppen
  • Fittinggruppe und Frattinigruppe
    • Satz über das Produkt nilpotenter Normalteiler (Fitting); Fittinggruppe
    • Fittinggruppe polyzyklischer Gruppen
    • Frattinigruppe
• Kompositionsfaktoren und -reihen
  • Sub-, Normal- und charakteristische Reihen
    • Ketten von Untergruppen; Hauptfaktoren und Kompositionsfaktoren
    • Bemerkungen zu Haupt- und Kompositionsreihen
    • Subnormale Untergruppen
  • Die Sätze von Schreier und Jordan-Hölder
    • Satz von Schreier
    • Satz von Jordan-Hölder
• Klassische Matrixgruppen
  • Die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe
    • Die Algebra Mat(n,K)
    • Die Gruppen GL(n,K) und SL(n,K)
    • Erzeugung von GL(n,K) und SL(n,K) durch die Elementarmatrizen
    • Zusammenhang bei Matrizen
    • Zusammenhang von GL(n,K) und SL(n,K)
  • Hermitesche Formen und Isometrien Hermitescher Räume
    • Hermitesche Form und Hermitescher Raum
    • Isometrie hermitescher Räume
  • Orhtogonale und unitäre Gruppen
    • Definitionen
    • Die Gruppe SO(3)
    • Die Gruppe SU(2)
  • Lorentz-Gruppe
    • Minkowski-Raum
    • Lorentz-Gruppe
    • Struktur der eigentlichen orthochronen Gruppe
    • Struktur der Lorentz-Gruppe
    • Isomorphe der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe mit SL(2,C)/{E}
• Lie-Algebren
  • Grundlagen
    • Lineare Gruppen
    • Lie-Algebren
    • Darstellungen, die Killing-Form und Cartansche Teilalgebren
  • Dynkin-Diagramme und einfache Lie-Algebren
    • Wurzeln und Wurzelsysteme
    • Cartan-Matrizen und Dynkin-Diagramme
    • (Weg-)Zusammenhang
    • Der Zusammenhang zwischen linearen Gruppen und einfache Lie-Algebren
• Darstellungen von Gruppen
  • Grundlagen zur Darstellungstheorie
    • Lineare Darstellung
    • Äquivalenz von Darstellungen
    • Invarianter Unterraum/Unterdarstellung
    • Irreduzible Darstellung
    • Existenz eines Komplements zu einem G-invarianten Unterraum
    • Direktes Produkt von Darstellungen
    • Hermitisches G-invariantes Skalarprodukt
    • Orthogonalität der Matrixdarstellungen
    • Das Lemma von Schur
    • Reguläre Darstellung
    • Tensorprodukt
    • Eigenschaften des Tensorprodukts
    • Tensorprodukt von Darstellungen
    • Tensorprodukte irreduzibler Darstellungen
  • Charaktere und deren Orthogonalitätsrelationen, Charaktertafeln
    • Charakter einer Darstellung
    • Erste Orthogonalitätsrelation
    • Charaktertafel
  • Young Tableaux
    • Rahmen
    • Young Tableau
    • Rahmen und irreduzible Darstellungen der symmetrischen Gruppe
• Kristallographische Gruppen
  • Grundlagen
    • Raumgitter
    • Kristallographische Gruppen
    • Pole
    • Kristallklassen - Äquivalenz
    • Bravais-Gitter
  • Kristallographische Punktgruppen
    • Endliche Untergruppen der SO(3)
    • Untergruppen der O(3), die nicht in SO(3) liegen
    • Endliche Untergruppen der O(3)
    • Kristallographische Beschränkung
  • Bravaisgitter und Kristallsysteme
    • Klassifikation der geometrischen Kristallklassen
    • Kristallsysteme
    • Klassifikation der arithmetischen Kristallklassen
    • Klassifikation Bravais-Gitter