Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie-Nilpotente, auflösbare und polyzyklische Gruppen-Kommutatoren, abgeleitete Reihe, Zentralreihen-Kommutator und Kommutatoruntergruppe

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	Kommutator und Kommutatoruntergruppe

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Sei

eine Gruppe.

a)

Für $g_1,g_2 \in G$ nennt man

$\displaystyle [g_1,g_2]:=g_1^{-1}g_2^{-1} g_1^{} \ g_2^{}$

den Kommutator von

und

.

b)

Sind $M,N \subseteq G$ , dann ist

$\displaystyle [M,N]:=\langle \, \{[m,n] \ \vert \ m \in M, n\in N \} \, \rangle \ .$

nennt man die Kommutatoruntergruppe von

oder die von

abgeleitete Gruppe.

Bemerkungen:

Die Menge der Kommutatoren einer Gruppe bildet im Allgemeinen keine Untergruppe von .
Man sieht unmittelbar, dass genau dann abelsch ist, wenn gilt.

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automatisch erstellt am 14.11.2008