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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Klassische Matrixgruppen - Die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe

Die Gruppen GL(n,K) und SL(n,K)

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Sei $ K = \mathbb{R}\hspace{0.03cm}$ oder $ \hspace{0.03cm} \mathbb{C}.$ $ Mat(n,K)$ bezeichne die Menge der n$ \times$n-Matrizen mit Einträgen aus $ K$.
Die Einheitengruppe von $ Mat(n,K)$

$\displaystyle GL(n,K) = \{A \in Mat(n,K) \mid detA \not = 0\}$

heisst allgemeine lineare Gruppe.

(Autor: Borgart)
Sei $ K = \mathbb{R}\hspace{0.03cm}$ oder $ \hspace{0.03cm} \mathbb{C}.$ Die Menge

$\displaystyle SL(n,K) = \{A \in GL(n,K) \mid detA = 1\}$

bildet zusammen mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe und heisst spezielle lineare Gruppe.

$ SL(n,K)$ kann man als den Kern des Homomorphismus

$\displaystyle GL(n,K) \to K,\hspace{0.2cm} A \mapsto \textnormal{det}A$

charakterisieren. Insbesondere gilt dann:

$\displaystyle SL(n,K) \hspace{0.2cm}\lhd \hspace{0.2cm} GL(n,K).$

(Autor: Borgart)
Sei $ E_{ij}$ die n$ \times$n-Matrix, die im Schnittpunkt der i-ten Zeile und der j-ten Spalte eine 1, sonst überall 0 hat. Als Elementarmatrizen werden bezeichnet:
  1. $ F_{ij}(\alpha) := E_{n} + \alpha E_{ij}$ für $ \alpha \in K$ und $ 1\leq i \not= j \leq n$
  2. $ F_{i}(\alpha) := E_{n} + (\alpha-1)E_{ii}$ für $ \alpha \in K^{\times}$ und $ 1 \leq i \leq n.$

Es gilt also
$ F_{ij}(\alpha) = \begin{pmatrix}1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 ... ...0.1cm} \begin{matrix}\\ \\ i \\ \\ \\ \end{matrix}\hspace{0.3cm}.\vspace{1.5cm}$

Durch leichtes Nachrechnen sieht man, dass $ \hspace{0.3cm}F_{ij}(\alpha), \hspace{0.1cm} F_{i}(\alpha) \in$ GL(n,K) und

$\displaystyle F_{ij}(\alpha)^{-1} = F_{ij}(- \alpha) \hspace{0.3cm}(\alpha \in K),$

$\displaystyle F_{i}(\alpha)^{-1} = F_{i}(\alpha ^{-1}) \hspace{0.3cm}(\alpha \in K^{\times}).$


Multiplikation einer Matrix $ A$ von links (rechts) mit $ F_{i}(\alpha)$ bedeutet Multiplikation der i-ten Zeile (Spalte) mit $ \alpha$,
Multiplikation der Matrix $ A$ von links (rechts) mit $ F_{ij}(\alpha)$ bedeutet Addition des $ \alpha$-fachen der j-ten Zeile (i-ten Spalte)
zur i-ten Zeile (j-ten Spalte). Man spricht von ´´elementaren Zeilen- bzw. Spaltenumformungen``.

(Autor: Borgart)
$ GL(n,K)$ wird von den Elementarmatrizen erzeugt.

$ SL(n,K)$ wird von den Elementarmatrizen vom Typ(1) erzeugt (d. h. Matrizen der Form $ F_{ij}(\alpha) := E_{n} + \alpha E_{ij}$ für $ \alpha \in K$ und $ 1\leq i \not= j \leq n$).
Insbesondere wird die Gruppe $ SL(2,K)$ von den Matrizen

$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.5cm} {... ... & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} \alpha, \beta \in K$

erzeugt.

(Autor: Borgart)
Jede Matrix $ A$ aus $ GL(n,K)$ kann durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix übergeführt werden, d.h. $ A^{-1}$, also auch $ A$, ist Produkt von Elementarmatrizen. Umgekehrt liegen alle Elementarmatrizen in $ GL(n,K)$.

(Autor: Borgart)
Offensichtlich sind die Matrizen vom Typ(1) in $ SL(n,K)$ enthalten.
Sei $ A = (\alpha_{ij}) \in SL(n,K)$ beliebig. Wir zeigen, dass $ A$ ein endliches Produkt aus den Matrizen vom Typ (1) ist:

Falls $ \alpha_{21} = 0$, dann muss es ein i $ \not =$ 2 geben, so dass $ \alpha_{i1} \not = 0$, da $ A$ sonst nicht invertierbar sein kann. Addition der i-ten Zeile zur zweiten ergibt eine neue Matrix ( $ \alpha_{ij}$) mit $ \alpha_{21} \not = 0$. Dies entspricht der Multiplikation der Matrix $ A$ von links mit der Matrix $ F_{2i}(1)$. Also können wir im weiteren annehmen, dass $ \alpha_{21} \not = 0$.

Addition des $ (1-\alpha_{11})\alpha^{-1}_{21}$-fachen der zweiten Zeile zur ersten ergibt eine Matrix $ (\alpha_{ij})$ mit $ \alpha_{11} = 1$. Durch Addition des $ (-\alpha_{i1})$-fachen der ersten Zeile zur i-ten, i > 1, erhalten wir schließlich eine Matrix der Form

$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & \vert & \ast & \ldots & \ast \\ \noalign{\hrul... ...h 0.01cm} 0 &\mid & & & \\ \vdots & \mid & & B & \\ 0 &\mid & & &\end{pmatrix}$

mit $ B \in SL(n-1, K)$. Fahren wir so fort, so ergibt sich nach endlich vielen Multiplikationen von $ A$ mit den Elementarmatrizen von Typ (1) eine obere Dreicksmatrix, deren Hauptdiagonalelemente gleich 1 sind:

$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & \ast & \ldots & \ast \\ 0 & 1 & & \ast \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1\end{pmatrix}.$

Hieraus entsteht aber in ähnlicher Weise durch elementare Zeilenumformungen vom Typ (1) die Einheitsmatrix. Da das Inverse einer Matrix vom Typ (1) ebenso eine Matrix vom Typ (1) ist, ist $ A$ ein Produkt aus endlich vielen Matrizen vom Typ (1).

(Autor: Borgart)
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  automatisch erstellt am 14.11.2008