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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Klassische Matrixgruppen - Orhtogonale und unitäre Gruppen

Definitionen

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Allgemeine lineare Gruppe
$ GL(n,K) = \{A \in Mat(n,K) \mid \det A \not = 0\}$.

Spezielle lineare Gruppe
$ SL(n,K) = \{A \in GL(n,K) \mid \det A = 1\}$.

Reell-orthogonale Gruppen
$ O(p,q) = \{A \in GL(n, \mathbb{R}) \vert A^{\text{t}}\,D_{p,q}\,A = D_{p,q} \}$, wobei $ D_{p,q} = \begin{pmatrix}E_{p} & 0\\ 0 & -E_{q}\end{pmatrix}, p \ge q, p+q = n$
$ O(n) = O(n,0) = \{A \in GL(n, \mathbb{R}) \mid A^{\text{t}}\,A = E_{n} \}$

Komplex-orthogonale Gruppen
$ O(n, \mathbb{C}) = \{A \in GL(n, \mathbb{C}) \mid A^{\text{t}}\,A = E_{n} \}$

Unitäre Gruppen
$ U(p,q) = \{A \in GL(n, \mathbb{C}) \mid \overline{A}^{\,\text{t}}\,D_{p,q}\,A = D_{p,q} \}$
$ U(n) = U(n,0) = \{A \in GL(n, \mathbb{C}) \mid \overline{A}^{\,\text{t}}\,A = E_{n} \}$

Wir können noch die spezielle reelle orthogonale Gruppe $ SO(p,q)$, die spezielle komplexe orthogonale Gruppe $ SO(n,\mathbb{C})$ und die spezielle unitäre Gruppe $ SU(p,q)$ definieren:
$ SO(p,q) = \{A \in O(p,q)\;\vert\;\det A = 1 \} = O(p,q) \, \cap \,SL(n, \mathbb{R}),$
$ SO(n,\mathbb{C}) = \{A \in O(n,\mathbb{C})\;\vert\;\det A = 1 \} = O(p,\mathbb{C}) \, \cap \, SL(n, \mathbb{C}),$
$ SU(p,q) = \{A \in U(p,q)\;\vert\;\det A = 1 \} = O(p,q) \, \cap \,SL(n, \mathbb{C})$.
(Autor: Borgart)
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  automatisch erstellt am 14.11.2008