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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Lie-Algebren - Dynkin-Diagramme und einfache Lie-Algebren

Wurzeln und Wurzelsysteme

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Für $ \alpha\in{\cal H}^*:=\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}\left({\cal H},{\mathbb{C}}\right)$ setze

$\displaystyle {\cal L}^\alpha:=\{x\in{\cal L}: \left[h,x\right]=\alpha(h)x~\forall h\in{\cal H}\}.$

Eine Linearform $ \alpha\in{\cal H}^*$ heißt Wurzel von $ \cal L$ bzgl. $ \cal H$ , falls $ {\cal L}^\alpha\neq\{0\}$ und $ \alpha\neq 0$ ist.
Die Menge der Wurzeln, genannt Wurzelsystem, wird mit $ R=R\left({\cal L},{\cal H}\right)$ bezeichnet.

Es gelten folgende Aussagen:
  1. $ {\cal L}={\cal H}\oplus\bigoplus_{\alpha\in R}{{\cal L}^\alpha}$
  2. $ \left[{\cal L}^\alpha,{\cal L}^\beta\right]\subseteq{\cal L}^{\alpha+\beta}$ für $ \alpha,\beta\in {\cal H}^*$
  3. $ {\cal K}\left({\cal L}^\alpha,{\cal L}^\beta\right)=\{0\}~\forall\alpha,\beta\in R$ mit $ \alpha+\beta\neq 0$
  4. Die Restriktion von $ \cal K$ auf $ {\cal L}^\alpha\times{\cal L}^{-\alpha}$ ist für jedes $ \alpha\in R$ nicht-ausgeartet, ebenso die Restriktion auf $ \cal H$ .

  5. Für alle $ h_1,h_2\in{\cal H}$ gilt

    $\displaystyle {\cal K}\left(h_1,h_2\right)=\sum\limits_{\alpha\in R}{\left(\operatorname{dim}{\cal L}^\alpha\right)\alpha(h_1)\alpha(h_2)}$

  6. Für alle $ \alpha,\beta\in R$ und alle $ h\in\left[{\cal L}^\alpha,{\cal L}^{-\alpha}\right]$ gibt es ein $ q\in\mathbb{Q}$ so, dass $ \alpha(h)=q\beta(h)$ ist.

  7. Zu jedem $ \alpha\in R$ und zu jedem $ x_\alpha\in{\cal L}^\alpha$ gibt es $ x_{-\alpha}\in{\cal L}^{-\alpha}$ und $ h_\alpha\in\left[{\cal L}^\alpha,{\cal L}^{-\alpha}\right]$ so, dass $ \left[h_\alpha,x_\alpha\right]=2x_\alpha,~\left[h_\alpha,x_{-\alpha}\right]=-2x_{-\alpha},~\left[x_\alpha,x_{-\alpha}\right]=h_{\alpha}$ gilt.
  8. $ \operatorname{dim}({\cal L}^\alpha)=\operatorname{dim}\left[{\cal L}^\alpha,{\cal L}^{-\alpha}\right]=1~\forall\alpha\in R$ .

Desweiteren gilt:
Ist $ \cal L$ eine komplexe, halbeinfache Lie-Algebra, $ \cal H$ eine Cartansche Teilalgebra von $ \cal L$ , $ R$ das zugehörige Wurzelsystem und $ h_\alpha,~\alpha\in R$ , wie oben, dann gilt:

  1. $ \cal H$ wird aufgespannt von $ \{h_\alpha:\alpha\in R\}$
  2. $ \beta(h_\alpha)\in\mathbb{Z}$ für alle $ \alpha,\beta\in R$
  3. $ \beta-\beta(h_\alpha)(\alpha)\in R$ für alle $ \alpha,\beta\in R$
  4. Für alle $ \alpha\in R$ und $ t\in\mathbb{Z}$ gilt $ t\alpha\in R\Leftrightarrow t=\pm 1$
Es bezeichne $ H_0$ der von $ h_\alpha,~\alpha\in R,$ aufgespannte $ \mathbb{R}$ -Vektorraum, also

$\displaystyle H_0=\left\{\sum\limits_{\alpha\in R}{a_\alpha h_\alpha}:a_\alpha\in\mathbb{R}\right\}.$

Nach Obigem gilt $ R\subseteq\left(H_0\right)^*=\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}\left(H_0,\mathbb{R}\right)$ , $ {\cal K}(h_1,h_2)\in\mathbb{R}$ und $ {\cal K}(h,h)=\sum\limits_{\alpha\in R}{\alpha(h)^2}$ für alle $ h_1,h_2,h\in H_0$ . Also ist die Restriktion der Killing-Form auf $ H_0$ positiv definit.

Mit Hilfe des $ \mathbb{R}$ -Vektorraum-Isomorphismus $ h\mapsto h^*$ , $ h^*(h'):={\cal K}(h,h')$ von $ H_0$ auf $ (H_0)^*$ erhalten wir eine positiv-definite, symmetrische Bilinearform auf $ (H_0)^*$ , definiert durch

$\displaystyle (h^*,h'^*)={\cal K}(h,h')$ für $\displaystyle h,h'\in H_0.$

Damit wird das Wurzelsystem $ R=R\left({\cal L},{\cal H}\right)$ zu einer Teilmenge eines euklidischen Vektorraumes.

Für alle $ \alpha,\beta\in R$ , $ \alpha$ nicht proportional zu $ \beta$ , gibt es $ p,q\in\mathbb{N}$ so, dass gilt:
  1. $ p-q=-\beta(h_\alpha)$
  2. $ \beta+t\alpha\in R$ für $ t\in\mathbb{Z}~\Leftrightarrow~-q\leq t\leq p$
(Autor: Hablizel)
Sei $ \cal L$ eine komplexe, halbeinfache Lie-Algebra, $ \cal H$ eine Cartansche Teilalgebra von $ \cal L$ und $ R$ das zugehörige Wurzelsystem. Eine Teilmenge $ B$ von $ R$ heißt Basis von $ R$ , wenn gilt Gilt für $ \alpha$ das Pluszeichen (Minuszeichen), dann heißt $ \alpha$ positive (negative) Wurzel bzgl. B. Die Menge der positiven (negativen) Wurzeln wird mit $ R^+$ ($ R^-$ ) bezeichnet (es gilt $ R^-=-R^+$ ).

Es gelten folgende Aussagen:
Jedes Wurzelsystem hat eine Basis. Ist $ B$ eine Basis, so gilt (außer $ \alpha(h_\alpha)=2$ für $ \alpha\in B$ ):
  1. $ -\alpha(h_\beta)\in\mathbb{N}_0$ für $ \alpha,\beta\in B$ , $ \alpha\neq\beta$
  2. $ \alpha(h_\beta)=0\Rightarrow \beta(h_\alpha)=0$ für $ \alpha,\beta\in B$
Man verifiziert leicht, dass $ (H_0)^*$ von $ R$ aufgespannt wird, nach obigem also auch von jeder Basis von $ R$ . Benutzt man noch, dass $ H_0$ eine reelle Form von $ \cal H$ ist, so folgt:
Ist $ B$ eine Basis von $ R\left({\cal L},{\cal H}\right)$ , so ist $ B$ eine $ \mathbb{R}$ -Basis von $ (H_0)^*$ und eine $ \mathbb{C}$ -Basis von $ {\cal H}^*$ . Die $ h_\alpha,~\alpha\in B$ bilden eine $ \mathbb{R}$ -Basis von $ H_0$ und eine $ \mathbb{C}$ -Basis von $ \cal H$ .

(Autor: Hablizel)
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  automatisch erstellt am 14.11.2008