Mathematik-Online-Kurs: Höhere Mathematik II-Übungsblätter-Aufgabenblatt 5-Blatt 5 Aufgabe P16

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	Mathematik-Online-Kurs: Höhere Mathematik II - Übungsblätter - Aufgabenblatt 5
	Blatt 5 Aufgabe P16

Für ein festes $k\in\mathbb{N}$ ist das Intervall $I=\left[-2\pi k,2\pi k\right]$ gegeben. Weiter ist auf

die Funktion ${\sin}\big\vert^{}_{I}\colon I\rightarrow \mathbb{R}\colon x\mapsto \sin(x)$ definiert.

a): Überprüfen Sie, ob die Funktion ${\sin}\big\vert^{}_{I}$ die Voraussetzungen des Satzes von Taylor in dem Intervall erfüllt.
b): Bestimmen Sie das Taylorpolynom $T_5({\sin}\big\vert^{}_{I},x,0)$ .
c): Bestimmen Sie für beliebiges $n\in\mathbb{N}$ das Taylorpolynom $T_n({\sin}\big\vert^{}_{I},x,0)$ und das Restglied nach Lagrange $R_n({\sin}\big\vert^{}_{I},x,0)$ . Bestimmen Sie für $x\in I$ eine Schranke für den Fehler der Approximation (das ist der Betrag der Differenz zwischen dem Funktionswert ${\sin}\big\vert^{}_{I}(x)$ und dem Wert des Taylorpolynoms $T_n({\sin}\big\vert^{}_{I},x,0)$ ), indem Sie das Restglied betragsweise nach oben abschätzen.
d): In anwendungsbezogenen Vorlesungen wird Ihnen häufig eine Aussage der Form ,,für kleine Winkel können wir $\sin(x)$ durch ersetzen`` begegnen. Darf man das wirklich? Was sind ,,kleine Winkel``? Stellen Sie diese an sich gewagte Behauptung auf ein solides mathematisches Fundament.

(Aus: HM II Stroppel SS 2006)

automatisch erstellt am 14.2.2008