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Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik - Lösungen - Übungsblatt 9

Blatt 9, Aufgabe 1

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Injektivität:

$ \cosh y,\sinh y,\sin x $ sind streng monoton steigend in $ D$, während $ \cos x$ streng monoton fällt. Annahme wir hätten eine Lösung von

$\displaystyle \sin x_1\cosh y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x_2 \cosh y_2$ (1)
$\displaystyle \cos x_1\sinh y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x_2 \sinh y_2$ (2)

mit $ x_1>x_2$, hieraus folgt aber aus der ersten Gleichung $ y_1<y_2$ und aus der zweiten $ y_1>y_2$, ein Widerspruch. Analog für $ x_2>x_1$. Ist also $ x_1=x_2$, so folgt auch unmittelbar $ y_1=y_2$.

Jakobi-Matrix

$\displaystyle \begin{pmatrix} \cos x \cosh y & \sin x \sinh y\\ -\sin x \sinh y & \cos x \cosh y\\ \end{pmatrix}$

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 28.10.2006