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Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik - Lösungen - Übungsblatt 11

Blatt 11, Aufgabe 7

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a)
Sei $ (x(t),y(t))^{\top}$ die von der Zeit $ t$ abhängige Wegfunktion des Hundes. Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Ableitung der Wegfunktion. Sie setzt sich aus dem zum Ursprung orientierten Vektor der Länge $ v_{H}$ und dem Geschwindigkeitsvektor des Flusses zusammen:

$\displaystyle \left(\begin{array}{c} x'\\ y' \end{array}\right)= \frac{-v_{H}}{... ...x \\ y \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c} 0 \\ v_{F} \end{array}\right)$ (1)

b)
Division der zweiten Komponentengleichung durch die erste liefert die homogene Differentialgleichung

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}-\frac{v_{F}}{v_{H}}\,\frac{1}{x}\sqrt{x^{2}+y^{2}} =\frac{y}{x}-\frac{v_{F}}{v_{H}}\sqrt{1+(y/x)^{2}} \; . $

Die Substitution $ z=y/x$ liefert mit $ y'=z+xz'$ und $ q:=v_{F}/v_{H}>0$ eine separable Differentialgleichung:

$\displaystyle z+xz'=z-q\sqrt{1+z^{2}} \quad \Rightarrow \quad \frac{z'}{\sqrt{1+z^{2}}}=-q\,\frac{1}{x} $

Beidseitige Integration und Resubstitution ergibt

$\displaystyle \operatorname{arsinh} z=-q \ln x +c \quad \Rightarrow \quad y=x\sinh\left(-q\ln x +c \right) \; , \; c\in\mathbb{R} \; . $

Bestimmung von $ c$ mit Hilfe des Anfangswertes $ y(a)=0$:

$\displaystyle y(a)=a\sinh\left(-q\ln a +c \right)\stackrel{!}{=}0 \quad \Rightarrow \quad c=q\ln a $

Bahnfunktion des Hundes:
$\displaystyle y(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x\sinh\left(\ln x^{-q} +\ln a^{q} \right)$ (2)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x}{2}\Big(\exp\left(\ln x^{-q}+\ln a^{q}\right)-\exp\left(-\ln x^{-q}-\ln a^{q}\right)\Big)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\Big(a^{q}x^{1-q}-a^{-q}x^{1+q}\Big)$  

Damit der Hund die Wurst erreicht, muss gelten

$\displaystyle \lim_{x\to 0} y(x)=0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x\to 0} x^{1-q}\stackrel{!}{=}0 \quad \Rightarrow \quad q=\frac{v_{F}}{v_{H}}<1 \; , $

d.h. die Geschwindigkeit des Hundes muss größer als die des Flusses sein.

c)
Erste Komponentengleichung von (1) ist eine separable Differentialgleichung mit $ x=x(t)$:

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{-v_{H}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\;x \quad \Rightarrow \quad 1=-\frac{1}{v_{H}}\sqrt{1+(y/x)^{2}}\;x' $

Substitution von $ y$ gemäß (2) und beidseitige Integration liefert:
$\displaystyle \int 1 \, dt$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{v_{H}}\int\sqrt{1+\sinh^{2} \big(\displaystyle{\ln x^{-q}+\ln a^{q}}\big)}\, dx$  
$\displaystyle t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{v_{H}}\int \cosh\big( \ln x^{-q}+\ln a^{q} \big)\, dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2v_{H}}\int \exp(\ln x^{-q}+\ln a^{q})+\exp(\ln x^{q}+\ln a^{-q}) \, dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2v_{H}}\int x^{-q}a^{q}+x^{q}a^{-q}\, dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2v_{H}}\left[\frac{a^{q}x^{1-q}}{1-q}+\frac{a^{-q}x^{q+1}}{q+1}\right]+c$  

Verwende Anfangswert $ t(a)=0$ zur Bestimmung der Konstanten $ c$:

$\displaystyle t(a)=-\frac{1}{2v_{H}}\left[\frac{a}{1-q}+\frac{a}{q+1}\right]+c\... ...Rightarrow \quad c=\frac{a}{v_{H}(1-q^{2})}=\frac{av_{H}}{v_{H}^{2}-v_{F}^{2}} $

Der Hund erreicht sein Ziel bei $ x=0$, also zum Zeitpukt $ t(0)=c$.

d)
Ein Student möchte ein Studium in einer bestimmten Zeit schaffen, wobei das Diplom sein Ziel ist. Der Student hat immer den gleichen Arbeitseifer mit dem er seinem Diplom näher kommt. Leider überlagert sich sein Arbeitseifer mit seiner natürlichen Faulheit. Dadurch kommt es zu Verzögerungen und der Student benötigt am Ende etwas mehr Zeit als er ursprünglich geplant hatte.

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 28.10.2006