Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik-Lösungen-Übungsblatt 2-Blatt 2, Aufgabe 4b

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	Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik - Lösungen - Übungsblatt 2
	Blatt 2, Aufgabe 4b

Aus dem Hinweis folgt mit n-facher Anwendung von l'Hospital:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^n} =\lim_{y \to \infty... ... \infty} \frac{y^n}{e^{y^2}} =\lim_{y \to \infty} \frac{0}{p(y) e^{y^2}}=0,p(y)$ Polynom $\displaystyle$
Damit gilt auch für jede Funktion der Form :

$\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x)e^{-\frac{1}{x^2}}=0$
Behauptung: Jede Ableitung hat die Form

$\displaystyle g(x^{-1})e^{-\frac{1}{x^2}}, g$ Polynom $\displaystyle ,x=0$
Beweis:
- Induktionsanfang, n=0: Die Behauptung ist wahr mit p=1
- Induktionsschritt: Die Behauptung sei bewiesen für $n \leq k$ .
  
  $\displaystyle f^{(k+1)}=\left(f^{(k)}\right)'= p'(x^{-1})\frac{-1}{x^2}e^{-\frac{1}{x^2}}+p(x^{-1})e^{-\frac{1}{x^2}}\frac{2}{x^3}$
  Damit hat $f^{(k+1)}$ die behauptete Form mit $g(x^{-1})=p'(x^{-1})\frac{1}{x}+p(x{-1})\frac{2}{x^3}$
Für jede Ableitung an der Stelle 0 gilt jetzt:

$\displaystyle f^{(n)}(0)=\lim_{x \to 0} \frac{p(x^{-1})e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}=0$
Das Taylorpolynom hat damit die Form

$\displaystyle T_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k =0$
Die Taylorreihe kann nicht konvergieren, denn aus der vorangehenden Zeile folgt:

$\displaystyle R_n(x)=f(x)-T_n(x)=f(x) \forall n \in \mathbb{N} {o}$
Das Restglied konvergiert also nicht gegen 0, da für

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

automatisch erstellt am 28.10.2006