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Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik - Lösungen - Übungsblatt 2

Blatt 2, Aufgabe 5

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  1. Wir lösen die Gleichung $ x^2=11$ mit dem Newtonverfahren und wählen $ x_0=3$ als Startpunkt. Wir finden einen Punkt $ x_1$ mit $ \vert x_1^2-11\vert = \vert(x_1-\sqrt{11})(x_1+\sqrt{11})\vert < \epsilon$. Also ist der absolute Fehler

    $\displaystyle \vert x_1-\sqrt{11}\vert \leq \frac\epsilon{x_1+\sqrt{11}} \leq \frac\epsilon6 $

    Nachdem $ x_1$ und $ \sqrt{11}$ beide größer als 3 sind. Wir müssen also eine Lösung der Gleichung mit

    $\displaystyle \vert x_1^2-11\vert \leq 0.5*10^{-2}/6 $

    finden.

    Mit dem Newtonverfahren finden wir

    \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} x_0=1 & x= -3.31662478971 & x^2-11 = -4.77520096815e-09 \end{array}\end{displaymath}

    also ist der absolute Fehler $ \vert x-\sqrt{11}\vert \leq 0.7959e-09$ Tatsächlich ist der Fehler ungefähr gleich $ 0.6454e-09$.

  2. $\displaystyle f(x)= x^{1/2},\quad f^{(n)}(x)=(-1)^n\prod_{k=0}^{n-1} \frac{1-2k}2 x^{1/2-n} $

    wobei

    $\displaystyle \frac1{n!}\prod_{k=0}^{n-1} \frac{1-2k}2 =\frac1{2n}\prod_{k=1}^{... ...k}{k} = \frac1{2n}\prod_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{2k} - 1\right) \leq \frac1{2n} $

    Es ist also

    $\displaystyle \vert R_n\vert \leq \frac1{2(n+1)} 11^{1/2-n-1}(-5)^{n+1}, \quad \vert R_5\vert \leq .0027 % 5^6/12/11^5/3 $

    genauer gilt aber schon (ohne obige grobe Anschätzung)

    $\displaystyle \vert R_4\vert \leq \frac{1\cdot1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2^55!}11^{1/2-n-1}(-5)^{n+1} \leq .0019454 $

    und somit reichen 4 Glieder

    $\displaystyle T_5(11) = 4 + \frac12 \frac14(-3) - \frac 14 \frac 1{2!4^3}(-5)^2... ...rac{3}{8} \frac 1{3!4^5} (-5)^3 - \frac{15}{16} \frac 1{4!4^7} (-5)^4 = 3.3170 $

    $\displaystyle \vert T_4(11)-\sqrt{11}\vert \leq 0.4275*10^{-3} $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 28.10.2006