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Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik - Lösungen - Übungsblatt 4

Blatt 4, Aufgabe 1

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a)
Zunächst sind die Nullstellen des Nennerpolynoms zu bestimmen. Man rät eine Nullstelle, zum Beispiel $ x_1=1$, und mit Hilfe einer Polynomdivision sowie anschliessender Verwendung der Mitternachtsformel erhält man die beiden restlichen Nullstellen, $ x_2=-1$ und $ x_3=3$. Damit hat der Nenner die Faktorisierung

$\displaystyle x^3-3x^2-x+3 = (x-1)(x+1)(x-3)\,. $

Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet also

$\displaystyle \frac{x+2}{x^3-3x^2-x+3} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{x-3}\,. $

Mit der Grenzwertmethode erhält man

$\displaystyle a=\lim\limits_{x\to 1} (x-1)\,\frac{x+2}{x^3-3x^2-x+3} = \left. \frac{x+2}{(x+1)(x-3)}\right\vert _{x=1} = \frac{3}{2\cdot(-2)} = -3/4 $

und analog
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left.\frac{x+2}{(x-1)(x-3)}\right\vert _{x=-1} = 1/8\,,$  
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left.\frac{x+2}{(x+1)(x-1)}\right\vert _{x=3} = 5/8\,.$  

Damit folgt
$\displaystyle \int \frac{x+2}{x^3-3x^2-x+3} dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int \left ( -\frac{3}{4(x-1)} + \frac{1}{8(x+1)} + \frac{5}{8(x-3)} \right )dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{3}{4}\ln\vert x-1\vert + \frac{1}{8}\ln\vert x+1\vert + \frac{5}{8}\ln\vert x-3\vert + c\,.$  

b)
Da der Zählergrad des rationalen Integranden größer als der Nennergrad ist, ist zunächst eine Polynomdivision durchzuführen:

$\displaystyle \frac{x^6}{x^4+3x^2+2} = x^2-3+\frac{7x^2+6}{x^4+3x^2+2}\,. $

Der Nenner des resultierenden gebrochenrationalen Anteils besitzt offensichtlich keine reellen Nullstellen, lässt sich aber umschreiben zu

$\displaystyle x^4+3x^2+2=(x^2+1)(x^2+2)\,. $

Damit lautet der Ansatz für die Partialbruchzerlegung

$\displaystyle \frac{7x^2+6}{x^4+3x^2+2} = \frac{ax+b}{x^2+2} + \frac{cx+d}{x^2+1}\,. $

Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt

$\displaystyle 7x^2+6= ax^3+bx^2+ax +b + cx^3+dx^2+2cx+2d \,, $

und Koeffizientenvergleich führt auf das lineare Gleichungssystem

\begin{displaymath} \begin{array}{rcrcl} 1: &\qquad & 6 &=& b+2d \\ x: & & 0 &=& a+2c \\ x^2: && 7 &=& b+d \\ x^3: && 0 &=& a+c \end{array}\end{displaymath}

Subtrahieren der vierten von der zweiten Gleichung ergibt $ c=0$ und damit $ a=0$. Subtrahieren der dritten von der ersten Gleichung liefert $ d=-1$, und dies führt auf $ b=8$. Damit ergibt sich für das Integral:

$\displaystyle \int (x^2-3) dx + \int \frac{8}{x^2+2} dx - \int \frac{1}{x^2+1} ... ...1}{3}x^3-3x+4\sqrt{2}\arctan \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)-\arctan x + c \,. $

Dabei wurde zur Berechnung des mittleren Integrals die Substitution $ y=x/\sqrt{2}$ bzw. $ dy=dx/\sqrt{2}$ verwendet.

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 28.10.2006