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Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik - Lösungen - Übungsblatt 4

Blatt 4, Aufgabe 5

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Zur Integration von $ \mbox{$\sinh x$}$ und $ \mbox{$\cosh x$}$ zerlege man unter Zuhilfenahme der Exponentialfunktion.

Die Stammfunktion von $ \mbox{$(1-x^2)^{-1/2}$}$ ist $ \mbox{$\arcsin x + {\mbox{const.}}$}$

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

(1)
Die Länge des Graphen von $ \mbox{$f$}$ ist
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} L(f) & = & \int_{-1}^{+1} (1 + f'(x)... ... = & [\sinh x]_{-1}^{+1} \vspace*{2mm}\\ & = & e - 1/e\; . \\ \end{array}$}$
(2)
Der Schwerpunkt des Graphen von $ \mbox{$f$}$ hat die Höhe
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} H(f) & = & \frac{1}{e - 1/e}\int_{-1}... ...\frac{1}{4}(e + 1/e) \vspace*{2mm}\\ & \approx & -0.34608 \; . \end{array}$}$
Für den verlangten Polygonzug ist $ \mbox{$2(1 + a^2)^{1/2} = L(f)$}$, und somit $ \mbox{$a = ((L(f)/2)^2 - 1)^{1/2} = \frac{1}{2}(e^2 + e^{-2} - 6)^{1/2}$}$. Er hat den Schwerpunkt in Höhe
$ \mbox{$\displaystyle -a/2 \; =\; -\frac{1}{4}(e^2 + e^{-2} - 6)^{1/2} \; \approx\; -0.30867 \; . $}$

Skizze $ \mbox{$f$}$ und "Dreiecklinie".

\includegraphics[width=10cm]{s2_cosh.eps}

(3)
Für den halben Kreisumfang erhalten wir mit $ \mbox{$g:[-1,+1]\longrightarrow \mathbb{R}$}$, $ \mbox{$g(x) = (1 - x^2)^{1/2}$}$ und $ \mbox{$g'(x) = -x\cdot (1 - x^2)^{-1/2}$}$ den Wert
$ \mbox{$\displaystyle L(g) \; =\; \int_{-1}^{+1} \left( 1 + x^2\cdot (1 - x^2)... ...{+1} (1-x^2)^{-1/2}\,{\mbox{d}}x \; =\; [\arcsin x]_{-1}^{+1} \; =\; \pi\; . $}$
Der Umfang eines Kreises mit Radius $ \mbox{$1$}$ beträgt somit $ \mbox{$2\pi$}$.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 28.10.2006