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Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik - Lösungen - Übungsblatt 5

Blatt 5, Aufgabe 4

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Berechnen Sie

$\displaystyle \int_0^1\frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d} x $

mit Hilfe der Reihenentwicklung auf 5 Stellen genau. Das heißt, der Abstand zur exakten Lösung soll kleiner als $ 0.5\cdot 10^{-5}$ sein.

$\displaystyle \frac{\sin(x)}{x} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k+1)!} $

da diese Reihe absolut konvergiert auf ganz $ \C$.

$\displaystyle \int_0^1\frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d} x=\int_0^1 \left( \sum_{k=0... ...left. \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)(2k+1)!} \right\vert _0^1 $

Dies ist eine alternierende Summe mit monoton fallenden Koeffizienten, also ist Restgliedabschätzung nach Leibniz möglich.

$\displaystyle \frac{1}{7!7} = 0.0000283446712, \frac{1}{9!9} = 0.0000003061924358 $

also ist

$\displaystyle \int_0^1\frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d} x \approx 1- \frac{1}{3!3} + \frac{1}{5!5} - \frac{1}{7!7} = .946082766 $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 28.10.2006