Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik-Lösungen-Übungsblatt 6-Blatt 6, Aufgabe 1

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik - Lösungen - Übungsblatt 6
	Blatt 6, Aufgabe 1

Für die Taylor-Entwicklung bis zur zweiten Ordnung um den Punkt

werden die Werte der partiellen Ableitungen bis zur 2. Ordnung benötigt.

Mit der Quotientenregel folgt

$\displaystyle f_x = \frac{x+y-(x-y)}{(x+y)^2} = \frac{2y}{(x+y)^2}\,,\quad f_y = \frac{-(x+y)-(x-y)}{(x+y)^2} = \frac{-2x}{(x+y)^2}\,,$

und weiter

$\displaystyle f_{xx} = -4y(x+y)^{-3}\,,\quad f_{xy} = \frac{2(x+y)^2-2y2(x+y)}{(x+y)^4} = \frac{2(x-y)}{(x+y)^3}\,,\quad f_{yy} = 4x(x+y)^{-3}\,.$

Wertet man diese Ableitungen an aus, erhält man

$\displaystyle f(1,1)=0\,,\,f_x(1,1) = 1/2\,,\,f_y(1,1) = -1/2\,,\, f_{xx}(1,1) = -1/2\,,\,f_{xy}(1,1) = 0\,,\,f_{yy}(1,1) = 1/2\,,$

und damit die Taylor-Entwicklung

$\displaystyle f(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0+ \frac{1/2}{1!}(x-1) -\frac{1/2}{1!} (y-1) -\frac{1/2}{2!} (x-1)^2 +\frac{0}{1!\cdot 1!} (x-y)(y-1) +\frac{1/2}{2!}(y-1)^2 + R$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{x-1}{2} - \frac{y-1}{2} -\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{4} +O(\vert(x-1,y-1)\vert^3)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle x-y+(y^2-x^2)/4 +R$

Gradient

$\displaystyle \nabla f(x,y) =(f_x,f_y)^\perp$

ist stetig ausserhalb der Diagonalen $\{(x,y)\vert x=-y\}$ , daher ist

dort total differenzierbar.

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

automatisch erstellt am 28.10.2006