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Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik - Lösungen - Übungsblatt 6

Blatt 6, Aufgabe 6

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a)
Die partiellen Ableitungen des Polynoms sind
$\displaystyle p_x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1 +2a_3x +a_4y$  
$\displaystyle p_y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_2 +a_4x +2a_5y$  
$\displaystyle p_{xx}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a_3$  
$\displaystyle p_{xy}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_4$  
$\displaystyle p_{yy}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a_5$  

und da die zweiten partiellen Ableitungen konstant sind verschwinden alle weiteren Ableitungen. Damit ist die Taylor-Entwicklung um den Punkt $ (x_0,y_0)$
$\displaystyle \tilde{p}(\xi,\eta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_0+a_1x_0+a_2y_0+a_3x_0^2+a_4x_0y_0+a_5y_0^2$  
  $\displaystyle +$ $\displaystyle (a_1 +2a_3x_0 +a_4y_0)\xi + (a_2 +a_4x_0 +2a_5y_0)\eta$  
  $\displaystyle +$ $\displaystyle a_3 \xi^2 +a_4\xi\eta +a_5 \eta^2\,.$  

b)
Aus dem Teil a) läßt sich ablesen

$\displaystyle M=\left( \begin{array}{cccccc} 1 & x_0 & y_0 & x_0^2 & x_0y_0 & ... ...& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) $

c)
Nach a) ist $ \tilde{p}(\xi,eta)$ ein Polynom zweiten Grades und durch Entwicklung um den Punkt $ (-x_0,-y_0)$ entsteht ein Polynom in den Variablen $ (u,v)=(\xi+x_0,\eta+y_0)= (x-x_0+x_0,y-y_0+y_0)=(x,y)$. Da bei der Taylor-Entwicklung der Restterm verschwindet sind die Polynome gleich und aufgrund der Eindeutigkeit der Koeffizienten eines Polynoms muss der Koeffizientenvektor auf sich selbst abgebildet werden. Da dies für alle Polynome gilt, muss das Matrixprodukt die Einheitsmatrix sein.

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 28.10.2006