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Mathematik-Online-Kurs: Integralrechnung - Numerische Integration

Trapez-Regel


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Die Näherung

$\displaystyle \int_a^b f(x)\, dx \approx s_h f = h (f(a)/2 + f(a+h) + \cdots +
f(b-h) + f(b)/2)
$

approximiert das Integral durch eine Summe von Trapezflächen.

\includegraphics[width=.95\moimagesize]{trapez3}

Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion gilt für den Fehler:

$\displaystyle s_h f - \int_a^b f =
\frac{b-a}{12} f\,'\,'(r) h^2,
$

für ein $ r\in[a,b]$.

Genauer besitzt der Fehler für glatte Funktionen die asymptotische Entwicklung

$\displaystyle s_h f - \int_a^b f = c_1(f^\prime(b)-f^\prime(a))h^2 + c_2(f^{\prime\prime\prime}(b)-f^{\prime\prime\prime}(a)) h^4 + \dots
$

mit von $ f$ und $ h$ unabhängigen Konstanten $ c_j$. Daraus folgt, dass die Trapezregel für $ (b-a)$-periodische Funktionen sehr genau ist. Der Fehler strebt schneller als jede $ h$-Potenz gegen Null.


Der Fehler auf einem Intervall ist

$\displaystyle \frac{h}{2} (f(0) + f(h)) - \int_0^h 1\cdot f =
\int_0^h (t-h/2) f^\prime(t)\, dt.
$

Nochmalige partielle Integration und Anwendung des Mittelwertsatzes ergibt

$\displaystyle -\int_0^h \frac{1}{2} t(t-h)
f^{\prime\prime}(t)\, dt =
\underbrace{-\int_0^h \frac{1}{2} t(t-h)\,dt}_{
h^3/12}\ f^{\prime\prime}(r).
$

Nach Summation über alle Teilintervalle erhält man

$\displaystyle \frac{1}{12}{h^3}
\sum_{i=1}^n f^{\prime\prime}(r_i).
$

Die Summe läßt sich durch

$\displaystyle n\,\min f^{\prime\prime} \le \sum f^{\prime\prime}(r_i) \le n\,\max f^{\prime\prime} $

abschätzen. Nach dem Zwischenwertsatz folgt schließlich

$\displaystyle \sum f^{\prime\prime}(r_i) =n f^{\prime\prime}(r) =
\frac{b-a}{h}f^{\prime\prime}(r)\,, $

mit einem $ r \in [a,b]$.

Der Beweis der asymptotischen Fehlerentwicklung ist aufwändiger. Er beruht auf sukzessiver partieller Integration des Restgliedes und einer geeigneten Behandlung der Randterme.

(Autoren: Höllig/Hörner)

Die Bessel-Funktionen $ \mathcal{J}_k$ besitzen für ganzzahliges $ k$ die Integraldarstellung

$\displaystyle \mathcal{J}_k(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}
\underbrace{\cos(kz-x\sin(z))}_{f(z)}\,dz
$

und sind für $ k = 0,\ldots ,4$ in der folgenden Abbildung dargestellt.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Trapezregel_Bessel.eps}

Bei der Berechnung mit der Trapez-Regel nutzt man aus, dass

$\displaystyle \frac{1}{2}\left(f(a)+f(a+2\pi)\right) = f(a) $

und dass $ f$ gerade ist. Wählt man die Punkte

$\displaystyle z_{\mathit i} = -\pi+\frac{1+2i}{2}\, \frac{2\pi}{n}\,, $

so ist die Summe

$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{n-1} f(z_{\mathit i}) =
2\sum\limits_{i=n/2}^{n-1} f(z_{\mathit i}) $

zu bilden.

Wie die Folge der Approximationen von $ \mathcal{J}_1(2)$ mit $ n=4,8, \ldots 64$ Punkten zeigt, ist die Konvergenz äußerst schnell.

\begin{tabular}{r\vert l}
$n$\ & \\
\hline
& \\ [-1.5ex]
4 & \underline{0}.4546...
...
& \\ [-1.5ex]
64 &\underline{0.57672480775687338720244824226913}
\end{tabular}

Diese hohe Genauigkeit der Trapezregel ist typisch für glatte periodische Integranden und kann mit einer genaueren Darstellung des Fehlers, der Euler-Maclaurinschen Summenformel, begründet werden.

(Autoren: Höllig/Hörner)

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  automatisch erstellt am 5.1.2017