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Mathematik-Online-Kurs: Integralrechnung - Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Hauptsatz der Integralrechnung

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Ist $ F$ eine Stammfunktion einer stetigen Funktion $ f$ , d.h. $ f=F'$ , so gilt

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $

bzw. in Kurzschreibweise

$\displaystyle \int_a^b f = \left[ F \right]_a^b \,. $

Ein bestimmtes Integral lässt sich also als Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion an den Intervallendpunkten berechnen.

(Inhalt vorübergehend nicht verfügbar)
Die Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion und daher ist

$\displaystyle \int_a^b e^x\,dx = e^b-e^a\,. $

Die Fläche unter dem Graph zwischen $ a$ und $ b$ ist also gleich der eines Rechtecks mit Breite $ 1$ und dem Abstand der Funktionswerte als Höhe.

\includegraphics[width=0.7\linewidth]{hs_bild}

Die Ableitung der Logarithmusfunktion $ F(x)=\ln(x)$ ist $ F'(x) = 1/x\,,\, x\in \mathbb{R}^+$ und somit

$\displaystyle \int_a^b 1/x\,dx = \ln(b)-\ln(a) \,,\quad a,b \in \mathbb{R}^+\,. $

(Autoren: Höllig/Hörner)
Eine Stammfunktion von $ f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ ist $ F(x)=\arctan x$ . Folglich ist

$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = \arctan(1)-\arctan(0) = \frac{\pi}{4}\,. $

Durch Differenzieren verifiziert man, dass

$\displaystyle F(x)=-\ln ( \cos x) $

eine Stammfunktion von $ f(x)=\tan x$ ist:

$\displaystyle F'(x)=-\frac{1}{\cos x}(-\sin x). $

Folglich ist

$\displaystyle \int_0^{\pi/4} \tan x\, dx = -\left[ \ln (\cos x) \right]_0^{\pi/4} = -\ln \left(\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \right) \approx 0.347\,. $

(Autoren: Höllig/Hörner)

Ein Planet der Masse $ M$ erzeugt ein Gravitationsfeld, bei dem auf einen Körper der Masse $ m$ die Kraft $ F(x) = \gamma \frac{mM}{x^2}$ ausgeübt wird. Dabei ist $ \gamma$ die Gravitationskonstante und $ x$ der Abstand der Schwerpunkte.

Eine Stammfunktion für $ 1/x^2$ ist $ -1/x$. Um einen Körper vom Abstand $ a$ zum Abstand $ b$ zu bringen, muss somit die Arbeit

$\displaystyle \int_a^b F(x)\,dx = \gamma mM \int_a^b \frac{1}{x^2}\,dx= -\left[ \gamma mM/x \right]_a^b = \gamma mM(1/a-1/b) $

verrichtet werden.

Für $ a$ gleich dem Radius des Planeten und $ b \to \infty$ lässt sich durch Gleichsetzen mit der kinetischen Energie die sogenannte Fluchtgeschwindigkeit $ v$ bestimmen, d.h. die Geschwindigkeit, die notwendig ist, um das Gravitationsfeld eines Planeten zu verlassen:

$\displaystyle \frac{m}{2}v^2 = \gamma \frac{mM}{a} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\gamma \frac{2M}{a}}\,. $

Am Äquator ist für die Erde $ v = 11.2$km/s.
(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 5.1.2017