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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Aufgaben - Quadriken

Schnitte von Quadriken mit Ebenen

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Im $ \mathbb{R}^3$ sei die Quadrik

$\displaystyle Q:\, 2x_1^2 +2 x_2^2 - x_3^2 = 0$

gegeben.
a)
Zeigen Sie, daß durch $ Q$ ein Doppelkegel beschrieben wird.
b)
Untersuchen Sie, welche geometrischen Objekte sich beim Schnitt von $ Q$ mit den
folgenden Ebenen ergeben:

$\displaystyle \begin{array}{ll} E_1:\ x_1=1 & E_2:\ \sqrt{2}\,x_2+x_3=1 \\ [0.4cm] E_3: \ x_1+2x_3=-1 \qquad & E_4: \ x_1-x_2=0 \end{array} $

c)
Geben Sie eine Ebene an, deren Schnitt mit $ Q$ einen Kreis mit Radius 2 bildet.
d)
Gibt es Ebenen, die beim Schnitt mit $ Q$ eine Gerade liefern?

(Aus: HM I mach, bau, umw WS 2001/02)
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  automatisch erstellt am 25.5.2007