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Mathematik-Online-Kurs: LAAG Prüfungsvorbereitung (math./phys.) - Determinanten

Ausgewählte Aufgaben

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Berechnen Sie die Determinanten
  1. $ x= \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&3&4\\ 1&4&9&16\\ 1&8&27&64 \end{vmatrix}$
  2. $ y= \begin{vmatrix} a&b&0&0\\ 0&a&b&0\\ 0&0&a&b\\ b&0&0&a\\ \end{vmatrix}$
  3. $ z_n= \begin{vmatrix} 1&n&n&\dots&n\\ n&2&n&\dots&n\\ n&n&3&\dots&n\\ \vdots& & & &\vdots\\ n&n&\dots&\dots&n\\ \end{vmatrix}$

wobei 2. mit Hilfe des Entwicklungssatzes von Laplace zu lösen ist.

Lösung:

$ x = $
$ y = $ $ a^4$ $ +$ $ a^3b$ $ +$ $ a^2b^2$ $ +$ $ ab^3$ $ +$ $ b^4$
% latex2html id marker 731 $ z_n = \left\{ \vphantom{\begin{tabular}{lcr} \step... ... '' type=''text''>\end{rawhtml}}&\text{ für }& n = 5\\ \end{tabular}} \right.$
für n = 1
für n = 2
für n = 3
für n = 4
für n = 5


   

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
Bestimmen Sie mit der Cramerschen Regel die Inverse der Matrizen

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\ 3 & 5 & 3 \\ 4 & 2 & 1\end{pmatrix}... ...qquad B=\begin{pmatrix}a & b & 0 \\ 0 & a & b \\ b & 0 & a\end{pmatrix} \,. $

Antwort:
$ \displaystyle A^{-1}=\frac1{39}\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
$ \displaystyle B^{-1}$ für $ a=1$ und $ b=2$: $ \displaystyle \frac{1}{9}\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$


   

(Autor: Klaus Höllig)
Bestimmen Sie die Determinante der Matrix

\begin{displaymath} A=\left( \begin{array}{rrr} \alpha &-2& 0 \\ -1&-1& 2 \\ 1& 1&-1 \end{array}\right) \end{displaymath}

in Abhängigkeit des reellen Parameter $ \alpha$.

Antwort:

$ \alpha$ $ +$
   
(Autor: Jörg Hörner)
Berechnen Sie die Determinante

\begin{displaymath} \left\vert \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & -2 & -4 \\ -1 & 0 & ... ...\ 2 & -2 & 0 & -3 \\ 4 & -1 & 3 & 0 \end{array}\right\vert \end{displaymath}

auf möglichst viele verschiedene Arten.

Antwort:

   

(Autor: Klaus Höllig)
Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen

\begin{displaymath} A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & ... ...& 1 \\ 1 & -\textrm{i} & -1 & \textrm{i} \end{array}\right). \end{displaymath}

Antwort:

$ \det A$ $ =$ ,          $ \det B$ $ =$ ,          $ \det C$ $ =$ + $ \mathrm{i}$


  

[Andere Variante]
(Autor: Klaus Höllig)
Berechnen Sie die Determinante und die Inverse der Matrix $ A=\left( \begin{array}{rrr} 1&2&1\\ 0&1&0\\ 1&3&-1 \end{array}\right)$:

$ \det(A)=$
$ A^{-1}=\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{2}}$ $ \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$.

   

(Autor: Stoll)
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  automatisch erstellt am 14.4.2008