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Mathematik-Online-Kurs: Geschichte der Mathematik - Neuzeit - Riemann

Riemannsche Vermutung

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Die für reelles $ z>1$ durch

$\displaystyle \zeta (z) = \sum^\infty_{n=1}{n^{-z}} $

definierte Zeta-Funktion wird durch die Integraldarstellung

$\displaystyle \zeta (z) = \frac{2^{z-1}}{z-1} - 2^z \int\limits_0^\infty { \frac {\sin {(z \arctan{t})}}{(1+t^2)^{z/2} (e^{\pi t}+1)}}\, dt $

auf $ \mathbb{C}\backslash\{1\}$ fortgesetzt. Riemann vermutete, dass die einzigen komplexen Nullstellen von $ \zeta$ auf der Geraden

$\displaystyle z = \frac{1}{2} + y \sqrt{-1},\quad y \in \mathbb{R}\,, $

liegen.

Einige spezielle Werte sind:

$\displaystyle \zeta (2) = \frac {\pi ^ 2}{6}\,, \qquad \zeta (4) = \frac {\pi ^ 4}{90}\,. $

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  automatisch erstellt am 11.1.2005