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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Grundlegende Strukturen

Orthogonale Basis

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Ausgehend von den Vektoren $ v_1=(1,1,0,0)$, $ v_2=(0,2,0,1)$ sowie $ v_3=(-1,3,1,-1)$ sind für $ k=1,2,3$ die Vektoren

$\displaystyle b_k=\frac{1}{\sqrt{\left\langle v_k-\sum_{j=1}^{k-1}\langle v_k,b... ...right\rangle}}\left(v_k-\sum_{j=1}^{k-1}\langle v_k,b_j\rangle\,b_j\right) \,, $

dabei wird $ \sum_{j=1}^{0}w_j = 0$ gesetzt.
a)
Berechnen Sie die Vektoren $ b_1$, $ b_2$ und $ b_3$.
b)
Zeigen Sie: $ B=\{b_j\; \vert \; j=1,\ldots,3\}$ bildet ein Orthonormalsystem.

Ist $ B$ auch eine Orthonormalbasis von $ \mathbb{R}^4$?

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

Gegeben sind die Vektoren

$ v_1=(1,1,0,0)$,     $ v_2=(-1,0,1,0)$,     $ v_3=(1,0,0,1)$,     $ v_4=(1,0,1,1)$.

a)
Konstruieren Sie mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormierungsverfahrens eine Orthonormalbasis $ F\colon f_1, f_2, f_3, f_4$ derart, dass $ \operatorname{Span}(f_1)=\operatorname{Span}(v_1)$, $ \operatorname{Span}(f_1, f_2)=\operatorname{Span}(v_1, v_2)$, $ \operatorname{Span}(f_1, f_2, f_3)=\operatorname{Span}(v_1, v_2, v_3)$ und $ \operatorname{Span}(f_1, f_2, f_3, f_4)=\operatorname{Span}(v_1, v_2, v_3, v_4)$.
b)
Zeigen Sie, dass die Matrix $ A=\big(\, _Ef_1 \, _Ef_2 \, _Ef_3 \, _Ef_4 \big)$ orthogonal ist.

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

Im $ \mathbb{R}^3$ ist die Basis $ B\colon b_1, b_2, b_3$ mit

$ b_1=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$ ,     $ b_2=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ,     $ b_3=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$

gegeben und $ E$ bezeichne die Standardbasis.

Die lineare Abbildung $ \delta$ ist durch

$ {}_B\delta(e_1)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ,     $ {}_B\delta(e_2)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$ ,     $ {}_B\delta(e_3)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

definiert.

a)
Zeigen Sie, dass $ B$ eine Orthonormalbasis von $ \mathbb{R}^3$ ist.
b)
Bestimmen Sie die Matrixdarstellung $ _B \delta _B$.
c)
Zeigen Sie, dass $ \delta$ eine orthogonale Abbildung ist.
d)
Berechnen Sie $ \operatorname{det} \left( _E \delta _E \right)$.

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 22.8.2008