Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Matrizen

Matrix

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
Sei $ S: Ax=b$ ein lineares Gleichungssystem mit Matrix $ A\in\mathbb{C}^{\mathit{n\times n}}$ und rechter Seite $ b\in\mathbb{C}^{\mathit n}$ . Sei außerdem $ \varphi: \mathbb{C}^{\mathit n}\rightarrow \mathbb{C}^{\mathit n}$ die durch $ x\mapsto Ax$ gegebene lineare Abbildung. Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.
a)
$ \det(A) \ne 0 \ \leftrightarrow \ S$ besitzt eine eindeutige Lösung
b)
$ {\mathrm{rg}}(A) < n \ \leftrightarrow \ S$ ist unlösbar
c)
$ b\in {\mathrm{im}}(\varphi) \ \leftrightarrow \ S$ ist lösbar
d)
$ {\mathrm{ker}}(\varphi)=\{0\} \ \rightarrow \ \varphi$ ist bijektiv
e)
$ A^{{\operatorname t}}A$ ist symmetrisch
f)
$ \overline{A}^{{\operatorname t}}=\overline{A^{{\operatorname t}}}$

Antwort:

a) wahr        falsch         b) wahr        falsch         c) wahr        falsch

d) wahr        falsch         e) wahr        falsch         f) wahr        falsch


   

(Autor: Wolfgang Kimmerle)
Sei $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ und $ v$ ein Eigenvektor von $ A$ . Sei außerdem $ b$ ein beliebiger Vektor in $ \mathbb{C}^n\setminus\{0\}$ und $ S: Ax=b$ das durch $ A$ und $ b$ definierte lineare Gleichungssystem. Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.
a)
$ {\operatorname{Rang}}\,(A)<n \ \Longrightarrow \ S$ besitzt keine Lösung
b)
$ x$ und $ x'$ sind Lösungen von $ S \ \Longrightarrow \ x+x'$ ist Lösung von $ S$
c)
$ A$ ist orthogonal $ \Longrightarrow$ $ {\operatorname{Rg}}\,(A)=n$
d)
$ A$ ist nicht regulär $ \Longleftrightarrow \ 0$ ist Eigenwert von $ A$
e)
$ v$ ist Eigenvektor von $ A^4+A^3+E_n$
f)
$ A+A^{\operatorname t}$ ist diagonalisierbar
g)
$ A$ hat $ n$ verschiedene Eigenwerte $ \Longleftrightarrow$ $ A$ ist diagonalisierbar

Antwort:

a) wahr        falsch         b) wahr        falsch         c) wahr        falsch

d) wahr        falsch         e) wahr        falsch         f) wahr        falsch

g) wahr        falsch        


   

(Autoren: App/Apprich)
Berechnen Sie das folgende Matrizenprodukt:
$ \left(\begin{array}{rrr}1&0&2\\ -2&-1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}... ...end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}0&2\\ 1&4\\ -1&-1\end{array}\right) =$ $ \left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$.

   
(Autor: Stoll)
Gegeben seien die Matrizen

$\displaystyle A=(1\quad 2), \quad B=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\r... ...\quad D= \left( \begin{array}{lll} 2 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{array} \right). $

Geben Sie an, welche der Matrizenprodukte

$\displaystyle AB, \ BA, \ CD, \ DC^{{\operatorname t}}, \ DC, \ D^{{\operatorname t}} C, \ D^{{\operatorname t}} D, \ DD^{{\operatorname t}} $

existieren und berechnen Sie diese.

(Aus: HM I WS 92/93)

Berechnen Sie für $ x,y,z\in\mathbb{K}$ die Inverse zu

$ A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\right)$ $ B=\left(\begin{matrix} 1 & x & y\\ 0 & 1 & z\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

siehe auch:

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 22.8.2008