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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Lineare Gleichungssysteme

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

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Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem.

\begin{displaymath} \begin{array}{rcrcrcc} \alpha x_1&-&2x_2& & &=&4\\ -x_1&-&x_2&+&2x_3 &=&\beta \\ x_1&+&x_2&-&x_3 &=&0 \end{array}\end{displaymath}

a)
Für welches $ \alpha_*$ ist die Lösbarkeit des Gleichungssystems von $ \beta$ abhängig?
b)
Für welches $ \beta_*$ besitzt das Gleichungssystem für alle $ \alpha$ eine Lösung?
c)
Bestimmen Sie für die Parameter $ \alpha_*$ und $ \beta_*$ alle Lösungen des Gleichungssystems.

Antwort:

a)         b)
c)
$ x=\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
1
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right) t + \left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
-2
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$
mit $ t \in \mathbb{R}$


   

(Autor: Jörg Hörner)
#./interaufg214.tex#Für welche $ b$ hat das Gleichungssystem

$\displaystyle \begin{array}{rcrcc} -x_1 & + & 2x_2 & = & b_1\\ 2x_1 & + & 2x_2 & = & b_2\\ 2x_1 & - & x_2 & = &b_3 \end{array}$

eine Lösung? Geben Sie die allgemeine Lösung für das transponierte System

$\displaystyle \begin{array}{rcrcrcc} -x_1 & + & 2x_2 & + & 2x_3 & = & b_1\\ 2x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & b_2 \end{array}$

an.

Antwort:
Bedingung für Lösbarkeit: $ b_1$ $ =$ ,         $ b_2$ $ -$ $ b_3$
allgemeine Lösung des transponierten Systems:
$ x_3 = t$ mit      $ t\in\mathbb{R}$ $ x_2 =$ $ b_1$ $ +$ $ b_2$ $ +$ $ t$
    $ x_1 =$ $ b_1$ $ +$ $ b_2$ $ +$ $ t$

(auf drei Dezimalstellen gerundet)


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1997)
Für welche Werte des Parameters $ t$ besitzt das Gleichungssystem
\begin{displaymath}\begin{array}{rcrcrcr} x&+ &y&+&tz& = & -1 \\ 3x&+&(t+1)\,y& + &(t-1)\,z & = & -1\\ tx & + & 2y &+& z& = & 0 \end{array}\end{displaymath}
keine Lösung, mehr als eine Lösung bzw. genau eine Lösung?

Antwort:

keine Lösung: $ t=$     und     $ t=$     (aufsteigend sortiert)
unendlich viele Lösungen: $ t=$
genau eine Lösung: $ t\notin$ $ \left\{\right.$ , , $ \left.\right\}$


   

(Autor: Klaus Höllig)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 22.8.2008