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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Normalformen

Eigenwerte und Eigenvektoren

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Zeigen Sie, daß $ \lambda_1={\mathrm{i}}$ Eigenwert der Matrix

\begin{displaymath}A=\left( \begin{array}{rrrr} 12 & -11 & 6 & 6 \\ 15 & -10 ... ...\\ 4 & -1 & -1 & 1 \\ 5 & -1 & -4 & 3 \end{array} \right) \end{displaymath}


ist. Bestimmen Sie alle Eigenwerte von $ A$ und geben Sie die zugehörigen Eigenräume an.

(Aus: HM I mach, bau, umw WS 2001/02)
Gegeben sei die Matrix

\begin{displaymath}A=\left( \begin{array}{rrr} -11 & 2 & 8 \\ 2 & -2 & 10 \\ 8 & 10 & -5 \end{array}\right). \end{displaymath}

Bestimmen Sie die Eigenwerte $ \lambda_i$ von $ A$ und geben Sie diese aufsteigend sortiert ein:

$ \lambda_1 = $
$ \lambda_2 = $
$ \lambda_3 = $

   

(Autor: Jörg Hörner)
Gegeben sei die Matrix

\begin{displaymath} A=\left( \begin{array}{rrr} -1& 2& -1\\ -8&-10& 8\\ -15&-14& 13\\ \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

Berechnen Sie ganzzahlige Eigen-/Hauptvektoren mit kleinstmöglicher Länge und positivem letzten Eintrag.

Eigenvektor zum kleinsten Eigenwert: $ \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
Eigenvektor zum größten Eigenwert: $ \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
Dritter Eigenvektor/Hauptvektor: $ \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

   

(Autor: Andreas App)

Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

$\displaystyle A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{array}\right) $

sowie den $ \displaystyle {\lim_{n \to \infty}} A^n x$ für $ x = (2,\,0,\,1)^{\text{t}}$.

Antwort:
a) Eigenwerte: $ \lambda_1=$ $ \le\lambda_2=$ $ \le\lambda_3=$
Eigenvektoren:
$ v_1=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
1
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$
,        		 $ v_2=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
0
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$
,        		 $ v_3=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
-2
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$

Grenzwert: keine Angabe ,    $ v_1$ ,     $ v_2$ ,    $ v_3$


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 1. September 1992)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 22.8.2008