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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 1

Aufgabe 3

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a)
Gegeben sind die Punkte $ P_1 =(1,1,1)$, $ P_2 = (2,2,2)$ und $ P_3=(3,2,4)$. Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Ebene $ E_1$, die die Punkte $ P_1$, $ P_2$ und $ P_3$ enthält.

b)
Gegeben ist die Ebene

$\displaystyle E_2 : 4x_1-3x_3=13$

und die Punkte $ P_4=(1,2,1)$, $ P_5=(4,3,3)$, $ P_6=(4,4,4)$ und $ P_7=(7,8,8)$. Die Gerade $ g_1$ geht durch die Punkte $ P_4$ und $ P_5$ und die Gerade $ g_2$ geht durch die Punkte $ P_6$ und $ P_7$. Berechnen Sie den Schnittpunkt $ S$ der Gerade $ g_1$ mit der Ebene $ E_2$.

und den kürzesten Abstand $ \delta$ der Geraden $ g_2$ zur Ebene $ E_2$.

Antwort:

a)
$ \left< n,x \right> = d$ mit
$ n = \frac{1}{\sqrt{6}}$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$
und $ d = $
b)

$ S= ($ , , $ )$

$ \delta = $


  
[Andere Variante]
a)

Mit $ u = (P_2-P_1)^\mathrm{t}$ und $ v = (P_3-P_1)^\mathrm{t}$ ist $ n = u\times v = (2, -1, -1)^\mathrm{t}$ ein Normmalenvektor zu $ E_1$. Es gilt dazu: $ \left\langle n \,,\, P_1^\mathrm{t} \right\rangle = 4-2-2=0$. Die Hessesche Normalform ist also: $ \left\langle \frac{n}{\left\vert n\right\vert}\,,\,x\right\rangle = \left\lang... ...}, \frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}})^\mathrm{t} \,,\,x\right\rangle = 0$

b)

$ g_1$ besitzt die Parameterdarstellung: $ x = P_4^\mathrm{t} + \mu(P_5-P_4)^\mathrm{t} = (1+3\mu, 2+\mu,1+2\mu)^\mathrm{t}$ wobei $ \mu \in \mathbb{R}$ ist.

Das Einsetzen in $ 4x_1-3x_3=13$ ergibt: $ 4(1+3\mu)-3(1+2\mu)=13\Rightarrow 6\mu = 12 \Rightarrow \mu = 2$ und $ S = (1+3\cdot2,2+2\cdot2,1+2\cdot2) = (7,4,5)$.

$ w = (P_7-P_6)^\mathrm{t} = (3,4,4)^\mathrm{t}$ ist ein Richtungsvektor von $ g_2$ und steht zum Normallenvektor $ n_2 = (4,0,-3)^\mathrm{t}$ von $ E_2$ senkrecht. Es gilt also $ \delta = \frac{\left\vert \left\langle n_2\,,\,P_6^\mathrm{t} \right\rangle -1... ...t\vert n_2\right\vert} = \frac{\left\vert 16-12-13\right\vert}{5} = \frac{9}{5}$

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  automatisch erstellt am 14.7.2008