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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 1

Aufgabe 2

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Gegeben sind die Mengen $ M_1 =\{ z\in \mathbb{C} \vert \vert z+3-\mathrm{i}\vert\leq 2 \} $ und $ M_2 =\{ z\in \mathbb{C} \vert \vert z+2-2\mathrm{i}\vert\leq \vert z+6\vert \}$ in der komplexen Zahlenebene. Welches der Schaubilder skizziert das Gebiet $ M_1 \cap M_2$?

keine Angabe
\includegraphics[width=5cm]{komplexes_Gebiet_1} \includegraphics[width=5cm]{komplexes_Gebiet_2} \includegraphics[width=5cm]{komplexes_Gebiet_3} \includegraphics[width=5cm]{komplexes_Gebiet_4}

  

[Andere Variante]

Wir gehen von der Darstellung $ z=x+y\mathrm{i}$ aus und erhalten:

$\displaystyle \vert z+3-\mathrm{i}\vert=\vert(x+3)+(y-1)\mathrm{i}\vert $

$ M_1$ wird also durch die Gleichung $ (\vert(x+3)+(y-1)\mathrm{i}\vert \leq 2$ beschrieben und entspricht somit einem Kreis mit Radius 2 um den Ursprung Ursprung $ (-3,1)$.

$\displaystyle \vert z+2-2\mathrm{i}\vert\leq \vert z+6\vert\Rightarrow (x+2)^2+(y-2)^2\leq (x+6)^2+y^2\Rightarrow $

$\displaystyle x^2+4x+y^2-4y+8\leq x^2+y^2+12x+36 \Rightarrow 4y \geq -8x-28 \Rightarrow y \geq -2x-7 $

Skizze:

\includegraphics[width=10cm]{komplexes_Gebiet_2}

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  automatisch erstellt am 14.7.2008