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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 2

Aufgabe 7

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Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik $ Q: \left\{ x\in \mathbb{R}^2 \vert x^{{\operatorname t}}Ax+2a^{{\operatorname t}}x+c=0 \right\}$ mit

$ A= \left( \begin{array}{rr} -1&0\\ 0&3 \end{array} \right)$          $ a= \left( \begin{array}{r} -2\\ -3 \end{array} \right)$          $ c=-1$

und geben Sie den Ursprung $ P$ des Koordinatensystems an in dem die Quadrik diese Form hat.

Antwort:

$ z_1^2$ + $ z_2^2=0$          $ P= \left(\rule{0pt}{2ex}\right.$ , $ \left.\rule{0pt}{2ex}\right)$
  
[Andere Variante]

Bestimme euklidische Normalform:

Mit $ A=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&3\end{pmatrix}$ und $ a=\begin{pmatrix}-2\\ -3\end{pmatrix}$ und $ c=-1$ hat $ \mathbf{Q}$ folgende Gestalt:

$\displaystyle \mathbf{Q}: -x_1^2+3x_3^2-4x_1-6x_2-1=0$

Wende nun folgende Trafo (Translation) an:

$\displaystyle x_1=z_1-2$

$\displaystyle x_2=z_2+1$

Damit ergibt sich:

$ -(z_1-2)^2+3(z_2+1)^2-4(z_1-2)-6(z_2+1)-1\\ =~~-z_1^2+4z_1-4+3z_2^2+6z_2+3-4z_1+8-6z_2-6-1\\ =~~-z_1^2+3z_2^2\\ \\ $ Der Ursprung $ (z_1,z_2)=(0,0)$ liegt dann bei $ (x_1,x_2)=(-2,1)$.
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  automatisch erstellt am 14.7.2008