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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 2

Aufgabe 6

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Bestimmen Sie die erweiterte Matrixbeschreibung $ A_{\mathrm{erw}}$ der Quadrik

$\displaystyle Q: \left\{ x\in \mathbb{R}^3 \vert x_1^2+2x_2^2+x_3^2+2x_1x_3+4x_1+4x_3=0 \right\}$

Antwort:

$ A_{\mathrm{erw}}= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$    

  
[Andere Variante]

Gegeben ist die Quadrik $ \mathbf{Q}=\left\{x\in \mathbb{R}^3~\vert~x_1^2+ 2x_2^2+x_3^2+2x_1x_3+4x_1+4x_3=0\right\}$.

Für $ \mathbf{Q}:~x^TAx+2x^Ta+c=0$ hat die erweiterte Matrixbeschreibung $ A_{\mathrm{erw}}$ folgende Gestalt:

$\displaystyle A_{\mathrm{erw}}=\begin{pmatrix}c& a^T\\ a&A\end{pmatrix}$

Es gilt $ c=0$. Aus $ 4x_1+4x_3=2x^Ta$ folgt $ a^T=(2,~0,~2)$.
Auf der Hauptdiagonalen von $ A$ stehen die Koeffizienten der reinen Quadrate, also gilt zunächst

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$

Aus dem gemischten Eintrag $ 2x_1x_3=a_{13}x_1x_3+a_{31}x_3x_1$ erhält man vollends:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&2&0\\ 1&0&1\end{pmatrix}$

Damit gilt für die erweiterte Matrix:

$\displaystyle A_{\mathrm{erw}}=\begin{pmatrix}0&2&0&2\\ 0&1&0&1\\ 2&0&2&0\\ 0&1&0&1\end{pmatrix}$

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  automatisch erstellt am 14.7.2008