Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Probeklausuren

Probeklausur 4

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]

Ein Link zu weiteren Varianten dieses Test befindet sich am Seitenende.
Aufgabe 1:

Berechnen Sie folgende Integrale, falls existent.

a) $ \int \limits_{0}^{+ \infty} e^{-x} dx $      b) $ \int x \cos(x) dx $      c) $ \int\limits_{\frac 3 4}^{\frac 4 3} \frac {x}{\sqrt{x^2+1}} dx $      d) $ \int x \sinh{x^2} dx $     

Antwort:

Geben sie Werte gegebenenfalls auf 3 Nachkommastellen gerundet an.
a)
b)
$ \cos(x) +$ $ x\cos(x) +$ $ \sin(x) +$ $ x\sin(x)$
c)
d)
$ \sinh(x^2) +$ $ \cosh(x^2)$

Aufgabe 2:

Gegeben ist die Funktion

$\displaystyle f: D \longrightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \frac{x^2+x-1}{x^3+x} $

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $ D \subseteq \mathbb{R}$ von $ f$.

$ D = \mathbb{R} \backslash \Big\{$ $ \Big\}$

Kreuzen Sie den richtigen Ansatz zur Bestimmung der Partialbruchzerlegung von f an.

keine Angabe
$ f(x)= \frac {A}{x} + \frac {B+xC}{x^2+1} $
$ f(x)= \frac {A}{x} + \frac {B}{x-1} + \frac {C}{x+1}$
$ f(x)= \frac {A+xB}{x} + \frac {C}{x^2+1}$

Daraus ergibt sich für die verwendeten Konstanten:

Somit lautet eine Stammfunktion $ F$ von $ f$:

$ F(x) = $ keine Angabe

$ [\ln(\frac{x^2+1}{\vert x\vert})+\arctan(x)]$

$ [\ln(\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}})-\arctan(x)]$

$ [\ln(\frac{x^2+1}{\vert x\vert})+2\arctan(x)]$

$ [\ln(\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}})+\arctan(x)]$

Aufgabe 3:

Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}: (x,y) \mapsto -x^3y+xy^2+3xy $

Welche der Skizzen zeigt die richtige Verteilung (+ steht für $ f>0$, - für $ f<0$ und 0 für $ f=0$ )?

keine Angabe

\includegraphics[width=4cm]{koordinatenkreuz-l-1} \includegraphics[width=4cm]{koordinatenkreuz-l-2} \includegraphics[width=4cm]{koordinatenkreuz-l-3} \includegraphics[width=4cm]{koordinatenkreuz-l-4}

Geben sie alle kritischen Stellen $ (x_0,y_0 \in \mathbb{R}^2)$ der Funktion $ f$ an :

$ \Big($, $ \Big)$:     lokales Maximum          lokales Minimum          Sattelpunkt

$ \Big($, $ \Big)$:     lokales Maximum          lokales Minimum          Sattelpunkt

$ \Big($, $ \Big)$:     lokales Maximum          lokales Minimum          Sattelpunkt

$ \Big($, $ \Big)$:     lokales Maximum          lokales Minimum          Sattelpunkt

$ \Big($, $ \Big)$:     lokales Maximum          lokales Minimum          Sattelpunkt

$ \Big($, $ \Big)$:     lokales Maximum          lokales Minimum          Sattelpunkt

(aufsteigend sortiert nach $ x$-Koordinate und $ y$-Koordinate. Werte auf drei Nachkommastellen gerundet.)

Aufgabe 4:

a)
Bestimmen Sie den Konvergenzradius $ \rho$ der reellen Potenzreihe $ \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-4)^k x^k$

b)
Bestimmen Sie eine Stammfunktion $ F$ von

$\displaystyle f: (-\rho,\rho) \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sum_{k=0}^{\infty} (-4)^k x^k $

durch gliedweise Integration.

c)
Geben Sie $ f$ in geschlossener Form an.

d)
Berechnen Sie daraus erneut eine Stammfunktion $ \tilde{F}$ von $ f$.

Antwort:

a)
$ \rho = $

b)
$ F(x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(a)^{k-1}}{k} x^k + c $ mit $ a=$

c)
$ f = \frac{1}{1+bx}$ mit $ b= $

d)
$ \tilde{F} = \frac 1 4 \ln{(1+dx)}+c$ mit $ d = $

Aufgabe 5:

Bestimmen Sie zu der Funktion

$\displaystyle f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \backslash \{1 \} \rightarrow \mathbb{R} : (x,y) \mapsto \frac {e^x}{y-1} $

den Gradienten, die Hessematrix und das Taylorpolynom der Stufe 2 von $ f$ um den Entwicklungspunkt $ (0,0)$.

Antwort:

$ \mathrm{grad} \quad f(x,y) : $ keine Angabe

$ \left( \frac{e^x}{y-1},-\frac{e^x}{(y-1)^2}\right)^{{\operatorname t}}$ ,     $ \left( -\frac{e^{-x}}{y+1},-\frac{e^{-x}}{(y+1)^2}\right)^{{\operatorname t}}$ ,     $ \left( 2\frac{x+1}{1-y},\frac{(x+1)^2}{(1-y)^2}\right)^{{\operatorname t}}$ ,     $ \left( 2\frac{x-1}{y-1},-\frac{(x-1)^2}{(y-1)^2}\right)^{{\operatorname t}}$ .

$ Hf(x,y) : $ keine Angabe

\begin{displaymath}\left( \begin{array}{cc} 2\frac{1}{y-1} & -2\frac{x-1}{(y-1)... ...-1}{(y-1)^2} & 2\frac{(x-1)^2}{(y-1)^3} \\ \end{array} \right)\end{displaymath} ,     \begin{displaymath}\left( \begin{array}{cc} 2\frac{1}{1-y} & 2\frac{x+1}{(1-y)^... ...+1}{(1-y)^2} & 2\frac{(x+1)^2}{(1-y)^3} \\ \end{array} \right)\end{displaymath} ,     \begin{displaymath}\left( \begin{array}{cc} \frac{e^{-x}}{y+1} & \frac{e^{-x}}{... ...-x}}{(y+1)^2} & 2\frac{e^{-x}}{(y+1)^3} \\ \end{array} \right)\end{displaymath} ,     \begin{displaymath}\left( \begin{array}{cc} \frac{e^x}{y-1} & -\frac{e^x}{(y-1)... ...ac{e^x}{(y-1)^2} & 2\frac{e^x}{(y-1)^3} \\ \end{array} \right)\end{displaymath} .

$ T_2(f, (x,y), (0,0)) = $ $ +$ $ x +$ $ y +$ $ x^2 +$ $ y^2 +$ $ xy$.

   
[Andere Variante]
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 14.7.2008