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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 1

Aufgabe 1

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a)
Gegeben sind die komplexen Zahlen $ z_1=4+3\, \mathrm{i}$ und $ z_2=-2+\, \mathrm{i}$. Berechnen Sie:

$\displaystyle a = z_1z_2\,,\quad b = z_1/z_2\,. $

b)
Gegeben ist $ z=-\sqrt{3}+\, \mathrm{i}$. Geben Sie die Polarkoordinatendarstellung $ r(\, \mathrm{cos}(\varphi)+\, \mathrm{i}\, \mathrm{sin}(\varphi))$ mit $ 0 \leq r$ und $ 0 \leq \varphi < 2 \pi$ für

$\displaystyle c= z\,,\quad d = z^{19}$

an.

Antwort:

a)

$ a=$ + $ \, \mathrm{i}$

$ b=$ + $ \, \mathrm{i}$

b)
$ c=$ $ (\, \mathrm{cos}($ $ /$$ \, \pi)$ $ +\, \mathrm{i}\, \mathrm{sin}($ $ /$$ \, \pi))$

$ d=$ $ (\, \mathrm{cos}($ $ /$$ \, \pi)$ $ +\, \mathrm{i}\, \mathrm{sin}($ $ /$$ \, \pi))$

(Brüche ganzzahlig gekürzt mit positivem Nenner.)


  
[Andere Variante]
a)
Gegeben sind die komplexen Zahlen $ z_1 = 4+3\mathrm{i}$ und $ z_2 = -2+\mathrm{i}$. Berechnen Sie $ z_1z_2$ und $ \frac{z_1}{z_2}$. Geben Sie die Ergebnisse in der Form $ a+b\mathrm{i}$ mit $ a,b \in \mathbb{R}$ an.

$\displaystyle z_1z_2 = (4+3\mathrm{i})(-2+\mathrm{i}) = -8+4\mathrm{i}-6\mathrm{i}+3\mathrm{i}^2 = -8-4\mathrm{i}-3 = -11-2\mathrm{i} $

$\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{4+3\mathrm{i}}{-2+\mathrm{i}} = \frac{(4+... ...{i}^2-10\mathrm{i}}{4-\mathrm{i}^2}=\frac{-5-10\mathrm{i}}{5} = -1-2\mathrm{i} $

b)
Gegeben ist $ z = -\sqrt{3}+\mathrm{i}$. Geben Sie die Polarkoordinatendarstellung $ r(\cos{\varphi}+\mathrm{i}\sin{\varphi})$ von $ z$ und $ z^{19}$ an.

$\displaystyle r = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2; \cos{\varphi}=\frac{-\sqrt{3}}{2};... ...5\pi}{6} \mathrm{und} z=2(\cos{\frac{5\pi}{6}}+\mathrm{i}\sin{\frac{5\pi}{6}}) $

$\displaystyle z^{19} = r^{19}e^{\mathrm{i}19\varphi}=2^{19}e^{\mathrm{i}(14\pi+... ...frac{11\pi}{6}}= 2^{19}(\cos{\frac{11\pi}{6}}+\mathrm{i}\sin{\frac{11\pi}{6}}) $

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  automatisch erstellt am 14.7.2008