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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 3 für aer, autip, mawi WS10/11 - Probeklausuren

Probeklausur 1

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Aufgabe 1:

Berechnen Sie die Rotation des Vektorfeldes

$\displaystyle \vec{F} = \left((xy)^{1+z}, \; 0, \; z^{(1+xy)}\right)^{\operatorname t} , \qquad x,y,z \ge 0 $

sowie mit Hilfe des Satzes von Stokes den Fluss von $ \operatorname{rot}\vec{F}$ durch den im positiven Oktanten liegenden Teil der Kugeloberfläche

$\displaystyle S: x^2 + y^2 + z^2 = 1, \qquad x,y,z \ge 0; $

in Richtung der äußeren Kugelnormale.

\includegraphics{pls.ps}

Antwort:

Fluss:
(auf drei Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die Lösung $ y(x)$ folgender Anfangswertprobleme und geben Sie an, um welchen Typ es sich handelt.
a)
     $ y^\prime+2y=$e$ ^{3x}$, $ y(0)=1$
b)
     $ 3xy^2\,y^\prime+(y^3+2x)=0$, $ y(2)=0$

Antwort:
a) Typ: linear, trennbar, exakt
  $ y(1)=$
b) Typ: linear, trennbar, exakt
  $ y(1)=$

(auf drei Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 3:
Gegeben sei die Differentialgleichung

$\displaystyle 2x^3y+(3x^2y^2+x^4)y'=0 $

Es gibt einen integrierenden Faktor $ \mu$, der nur von $ x$ abhängt. Bestimmen Sie diesen und geben Sie die allgemeine Lösung in der Form $ F(x,y)=k$ an.

Antwort:

Lösungskurve durch den Punkt $ (0,1)$:
$ 1=F(x,y)$ $ =$ $ \, x$ $ +$ $ \, y$
  $ +$ $ \, x^2$ $ +$ $ \, xy$ $ +$ $ \, y^2$
  $ +$ $ \, x^3$ $ +$ $ \, x^2y$ $ +$ $ \, xy^2$ $ +$ $ \, y^3$

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die Koeffizienten der reellen Fourier-Reihe

$\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty \left( a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right) $

der Funktion $ f(x)=x(\pi-\vert x\vert)$, $ \vert x\vert \leq \pi$. Geben Sie ebenfalls die Koeffizienten $ \tilde{a}_k$ und $ \tilde{b}_k$ der Stammfunktion $ \int_0^x f(y) dy$ an.

Antwort:
$ a_0=$ , $ a_1=$ ,$ a_2=$ , $ b_1=$ , $ b_2=$

$ \tilde{a}_0=$ , $ \tilde{a}_1=$ , $ \tilde{a}_2=$ , $ \tilde{b}_1=$ , $ \tilde{b}_2=$
(auf drei Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 5:
Bei der Züchtung einer blühenden Pflanze erhält man gelbe und weiße Exemplare. Nach den Vererbungsgesetzen muss eine der beiden Farben als dominantes Merkmal mit der Wahrscheinlichkeit $ 3/4$ auftreten. In einem Kreuzungsversuch ergeben sich $ 11$ Pflanzen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit $ P$ irrt man sich, wenn man die häufiger auftretende Farbe für dominant hält?

Antwort:

$ P = $ .

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit $ p(\{k\})$ dafür, dass beim gleichzeitigen Würfeln von 4 (sechsseitigen) Würfeln $ k$ Versuche benötigt werden, bis zum ersten mal 4 aufeinanderfolgende Werte geworfen werden.

Berechnen Sie den Erwartungswert $ E$ für die benötigte Wurfzahl.

Antwort:

$ p(\{2\})= $ ,    $ p(\{3\})= $

$ E=$

(auf vier Dezimalstellen runden)

   
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  automatisch erstellt am 7.2.2011