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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 3 für aer, autip, mawi WS10/11 - Probeklausuren

Probeklausur 2

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Aufgabe 1:
Das Flächenstück

$\displaystyle S: \; x^2-4x+y^2+2z=0\;, \quad z \geq 0 $

und die $ xy$-Ebene schließen einen Körper $ K$ ein.
a)
Berechnen Sie das Volumen von $ K$.
b)
Berechnen Sie für das Vektorfeld

$\displaystyle \vec F=\begin{pmatrix}{1 \over 3 }(x-2)^3 +\ln (z+1) \\ 0 \\ y^2 z+1 \end{pmatrix}$

den Fluss von $ F$ durch $ S$ nach außen.

Antwort:

Volumen: ,    Fluss:

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung der Differentialgleichung

$\displaystyle u^{\prime\prime}(t)+4u(t)=4 \sin(2 t)+4t^2+2 $

sowie die Lösung zu den Anfangsbedingungen $ u(0)=u^\prime(0)=0$.

Antwort:
Spezielle Lösung: $ u(1)=$ , $ u(\pi)=$
(auf drei Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten der Funktionen
a) $ t^2$e$ ^{-3(t+1)}$          b) $ \sin(2t)\cos(2t)$          c) $ \max(1-t,\,0)$
und lösen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation das Anfangswertproblem
d) $ u^\prime-u=$e$ ^t\sin t\,,\quad u(0)=-1$.

Antwort:
a) Wert der Laplace-Transformierten bei $ s=0$:
b) Wert der Laplace-Transformierten bei $ s=2$:
c) Wert der Laplace-Transformierten bei $ s=1$:
d) $ u(1)=$

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von

$\displaystyle 2u_x - 4 u_y = 6e^y $

sowie die Lösung zu der Anfangsbedingung $ u(x,1) = e^x$.

Antwort:

$ u(0,0)=$

(auf vier Dezimalstellen runden)

Aufgabe 5:
In einer Urne befinden sich eine rote, eine blaue und eine grüne Kugel.

a)
Aus der Urne wird sechsmal eine Kugel gezogen und wieder zurückgelegt.

Sei $ A$ das Ereignis, dass bei den ersten drei Ziehungen drei unterschiedliche Farben gezogen werden und $ B$ das Ereignis, dass bei den sechs Ziehungen jede Farbe zweimal gezogen wird.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten $ p(A)\,,\,p(B)$ und $ p(B\vert A)$. Sind die Ereignisse stochastisch unabhängig?

b)

Aus der Urne wird 450 mal eine Kugel gezogen und wieder zurückgelegt. Schätzen Sie mit Hilfe der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 140 und weniger als 161 rote Kugeln gezogen werden. (Es genügt als Ergebnis einen Ausdruck anzugeben, der von einem Funktionswert der Verteilungsfunktion $ \Phi$ der Standard-Normalverteilung abhängt.)

Antwort:

a)

$ p(A)= $ ,     $ p(B)= $ ,     $ p(B\vert A)= $ .

(auf drei Dezimalstellen runden)

b)

(Verwenden Sie den Näherungswert $ \Phi(1) \approx .841$ für die Verteilungsfunktion $ \Phi$ der Standard-Normalverteilung)

Aufgabe 6:
Seien $ X$ und $ Y$ zwei stochastisch unabhängige, auf $ [0,1)$ gleichverteilte Zufallsvariablen.

Bestimmen Sie für $ 0 < \alpha \leq \beta$ die Verteilungsfunktion $ F_Z$, die Dichte $ f_Z$ und den Erwartungswert $ E(Z)$ der Zufallsvariable $ Z=\alpha X+\beta Y$.

Antwort:

Ergebnisse für $ \alpha=1\,,\beta =2$:

$ F_Z(1) = $ ,    $ F_Z(2) = $ ,     $ f_Z(1) = $ ,    $ E(Z)= $

   
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  automatisch erstellt am 7.2.2011