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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Aufgaben - Grundlagen

Aussagenlogik

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Vereinfachen Sie die folgende Schaltung:

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(Autor: Jörg Hörner)
Ermitteln Sie den Wahrheitswert des logischen Ausdrucks

$\displaystyle D: \; (A\Rightarrow B)\land (\lnot C\lor A) $

in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten der Aussagen $ A,B,C$.


Antwort:

$ A$ w w w w f f f f
$ B$ w w f f w w f f
$ C$ w f w f w f w f
$ D$
Geben Sie jeweils entweder 'w' oder 'f' an.
  
[Andere Variante]
(Aus: 1. Scheinklausur HM I, K. Höllig, WS 2004/2005)
Ein Lehrer möchte zur Vorbereitung eines Ausflugs einen Arbeitskreis zusammenstellen, der aus vier seiner Schüler besteht. Die Schüler Achim, Bettina, Clemens, Dorothee, Eberhardt, Ferdinand, Gisela und Harald haben bisher noch keine anderen Aufgaben und sind daher mögliche Kandidaten. Da der Lehrer seine Schüler gut kennt, weiß er, bei welchen Kombinationen besonders gute bzw. keine Ergebnisse zu erwarten sind. Folgende Randbedingungen sollten erfüllt sein:

Durch die Wahl welcher Schüler kann der Lehrer alle Randbedingungen erfüllen?

Lösung:

Geben Sie an, welche Schüler im Arbeitskreis (AK) sind und welche nicht.

Name keine Angabe im AK nicht im AK
Achim
Bettina
Clemens
Dorothee
Eberhardt
Ferdinand
Gisela
Harald

   

Formulieren Sie jede der folgenden Aussagen mit Hilfe von Quantoren, und geben Sie ihre Verneinung und ihren Wahrheitswert an:

$ A$: Es gibt $ m, n\in\mathbb{N}$, für die $ m+n\in\mathbb{N}$ und $ m-n\in\mathbb{N}$.
$ B$: Die Gleichung $ m^2=n-5$ besitzt für jedes $ m\in\mathbb{N}$ eine Lösung $ n\in\mathbb{N}$.
$ C$: Jedes gerade $ n\in\mathbb{N}$ kann als Summe zweier Quadratzahlen geschrieben werden.

(Autor: Christian Apprich)
Vereinfachen Sie die folgenden logischen Ausdrücke.

a)     $ (A\Rightarrow B) \vee \big((A\wedge B)\Leftarrow B\big)$                  b)     $ (A\wedge B)\Leftarrow \big((A\Rightarrow B)\vee B\big)$

Antwort:

a) keine Angabe      wahr      falsch      $ A$      $ B$      $ A \land B$      $ A \lor (\neg B)$     

b) keine Angabe      wahr      falsch      $ A$      $ B$      $ A \land B$      $ A \lor (\neg B)$     

   

(Autor: Klaus Höllig)
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion für $ n\in\mathbb{N}$ :


a)      $ \displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} $           b)      $ \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1) }=\frac{n}{n+1}$

(Aus: HM I WS 1997/1998)
Die Fibonacci-Zahlen $ F_n$, $ n\in\mathbb{N}_0$, sind definiert durch

$\displaystyle F_0 = 0, \quad F_1=1,\quad F_{n+2}=F_n+F_{n+1}\ .$

Bestimmen Sie $ F_{7}$ und zeigen Sie die folgenden Beziehungen:

   a)$\displaystyle \quad \sum\limits_{k=0}^n F_k = F_{n+2}-1$   b)$\displaystyle \quad \sum\limits_{k=0}^n F_k^2 = F_n F_{n+1} $

[Andere Variante]
(Autor: Joachim Wipper)
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  automatisch erstellt am 9.6.2009