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Mathematik-Online-Kurs: Mathematische Grundlagen - Abbildungen

Abbildung

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Unter einer Abbildung $ f$ von einer Menge $ A$ in eine Menge $ B$ versteht man eine Vorschrift, die jedem $ a\in A$ eindeutig ein bestimmtes $ b=f(a) \in B$ zuordnet:

$\displaystyle f: A \longrightarrow B\,. $

Für die Elementzuordnung verwendet man die Schreibweise

$\displaystyle a \mapsto b=f(a)$

und bezeichnet $ b$ als das Bild von $ a$, bzw. $ a$ als ein Urbild von $ b$.

Ist $ M \subseteq A$, so heißt $ f(M) = \{ f(m) \vert m \in M\} \; \subseteq\, B\,$ das Bild von $ M$ und für $ N \subseteq B$ heißt $ f^{-1}(N) = \{ a \vert f(a) \in N\} \; \subseteq\, A\,$ das Urbild von $ N$ unter der Abbildung $ f$.
Die Menge $ f(A)$ heißt Wertebereich und $ A$ Definitionsbereich der Abbildung $ f$.

Eine Abbildung kann man folgendermaßen illustrieren.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{abbildung_Bild}

Wie aus dem Bild ersichtlich ist, müssen nicht alle Elemente aus $ B$ als Bild eines Elementes aus $ A$ auftreten und ein Element aus $ B$ darf auch Bild mehrerer Elemente aus $ A$ sein. Es muss allerdings für jedes Element aus $ A$ ein eindeutiges Bild geben, das heißt von jedem $ a$ muss genau ein Pfeil ausgehen.

Man erkennt auch, dass ein Bild $ b$ mehrere Urbilder haben kann, hier beispielsweise $ a$ und $ a'$.

Statt Abbildung verwendet man auch den Begriff Funktion, insbesondere in der reellen und komplexen Analysis.

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  automatisch erstellt am 5.5.2011