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Mathematik-Online-Kurs: Mathematische Grundlagen - Reelle Zahlen

Bernoullische Ungleichung

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Für $ x \in \mathbb{R}$ mit $ x > -1$ und $ n \in \mathbb{N}_0$ gilt

$\displaystyle 1 + nx \leq (1+x)^n \,. $

Die Ungleichung läßt sich mit vollständiger Induktion beweisen.

Für $ n = 0$ ist die Behauptung offensichtlich richtig:

$\displaystyle 1 + 0x = 1 = (1+x)^0 \,. $

Angenommen sie gelte für ein $ n\in\mathbb{N}$. Dann ist

$\displaystyle \begin{array}{rcl} (1+x)^{n+1} & = & \underbrace{(1+x)^n}_{\displ... ... & = & 1+(n+1)x + \underbrace{nx^2}_{\displaystyle \geq 0} \,, \\ \end{array}$

und somit gilt die Behauptung auch für den Exponenten $ n+1$.
(Aus: Lineare Algebra und Geometrie, Kimmerle)
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  automatisch erstellt am 5.5.2011