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Mathematik-Online-Kurs: Mathematische Grundlagen - Reelle Zahlen

Supremum und Infimum

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Eine Teilmenge $ M$ von $ \mathbb{R}$ ist nach oben beschränkt, wenn eine Schranke $ b$ existiert, so dass

$\displaystyle x\le b \quad \forall x\in M\,. $

Man nennt $ b \in \mathbb{R}$ ein Maximum von $ M$ ($ b$ = max$ \,M$), wenn $ b$ eine obere Schranke von $ M$ und $ b \in M$ ist.

Man bezeichnet $ b$ als Supremum von $ M$, ($ b$ = sup$ \,M$) wenn $ b$ die kleinste obere Schranke ist. Dabei muss $ b$ selbst nicht in $ M$ enthalten sein.

Analog definiert man eine untere Schranke, das Minimum (min$ \,M$) und das Infimum (inf$ \,M$) von $ M$.

Das sogenannte Vollständigkeitsaxiom reller Zahlen besagt, dass jede nach oben (unten) beschränkte nicht-leere Teilmenge von $ \mathbb{R}$ ein Supremum (Infimum) in $ \mathbb{R}$ hat.

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  automatisch erstellt am 5.5.2011