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Mathematik-Online-Kurs: Mathematische Grundlagen - Aussagenlogik

Quantoren

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Als Abkürzung für die Formulierungen

,,es gibt ...``,     ,,für alle ...``
werden der Existenzquantor $ \exists$ und der Allquantor $ \forall$ verwendet. Diese Quantoren werden häufig in Verbindung mit Aussagen $ A(p)$ benutzt, die von einem Parameter $ p$ aus einer Menge $ P$ abhängen.

Schreibweise Bedeutung
$ \exists\,p\in P:\ A(p)$ es gibt mindestens ein $ p$ aus $ P$, für das $ A(p)$ wahr ist
$ \forall\,p\in P:\ A(p)$ für alle $ p$ aus $ P$ ist $ A(p)$ wahr

Bei der Negation der beiden Aussagentypen vertauschen sich die Quantoren:

$\displaystyle \lnot\big( \exists\,p\in P:\ A(p) \big)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \forall\, p\in P:\ \lnot A(p)$  
$\displaystyle \lnot\big( \forall\,p\in P:\ A(p) \big)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exists\, p\in P:\ \lnot A(p)$  

Gebräuchlich ist ebenfalls die Schreibweise $ \exists!$ für die Formulierung ,,es gibt genau ein ...``.

Zur Illustration des Quantorenkalküls wird die Aussage

$\displaystyle \forall\, \varepsilon>0\ \exists\, n_\varepsilon\ \forall\, n\in\mathbb{N}:\ n>n_\varepsilon \Longrightarrow \vert a_n\vert<\varepsilon $

betrachtet. Sie bedeutet, dass die Folge

$\displaystyle a_1,a_2,\ldots $

gegen 0 strebt, das heißt für hinreichend großes $ n$ wird der Betrag von $ a_n$ kleiner als jede vorgegebene Schranke $ \varepsilon$.

Die Negation erhält man, indem die Kernaussage negiert und die Quantoren ersetzt,

$\displaystyle \exists \leftrightarrow \forall \,. $

Ersetzen der Implikation und Anwendung der Morganschen Regel ergibt

$\displaystyle \lnot( n>n_\varepsilon \Longrightarrow \vert a_n\vert<\varepsil... ...vert<\varepsilon )= n>n_\varepsilon \land \vert a_n\vert\ge\varepsilon \,. $

Damit hat die negierte Aussage die Form

$\displaystyle \exists\,\varepsilon>0\ \forall\, n_\varepsilon\ \exists\, n\in\mathbb{N}:\ n>n_\varepsilon \land \vert a_n\vert\ge\varepsilon \,. $

Dies bedeutet, dass die Folge $ (a_n)$ nicht gegen 0 konvergiert, d.h. es existiert ein Wert $ \varepsilon>0$, der von der Folge $ \vert a_n\vert$ immer wieder überschritten wird.

(Autor: K. Höllig)
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  automatisch erstellt am 5.5.2011