Mathematik-Online-Kurs: Mathematische Grundlagen-Aussagenlogik-Regeln für logische Operationen

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	Mathematik-Online-Kurs: Mathematische Grundlagen - Aussagenlogik
	Regeln für logische Operationen

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Für logische Operationen gelten die folgenden Identitäten.

Assoziativgesetze:

$\displaystyle (A\land B)\land C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A \land (B \land C)$

$\displaystyle (A\lor B)\lor C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A \lor (B \lor C)$
Kommutativgesetze:

$\displaystyle A\land B$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B \land A$

$\displaystyle A\lor B$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B \lor A$
De Morgansche Regeln:

$\displaystyle \lnot(A\land B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\lnot A) \lor (\lnot B)$

$\displaystyle \lnot(A\lor B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\lnot A) \land (\lnot B)$
Distributivgesetze:

$\displaystyle (A\land B)\lor C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (A\lor C) \land (B\lor C)$

$\displaystyle (A\lor B)\land C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (A\land C) \lor (B\land C)$
Sonstige:

$\displaystyle \lnot(\lnot A)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A$

$\displaystyle A\land A$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A$

$\displaystyle A\lor A$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A$
Alternative Darstellungen:

$\displaystyle \textrm{Implikation:}\quad$ $\displaystyle A \Rightarrow B$ $\displaystyle \quad =\quad \lnot A \lor B \quad =\quad \lnot A \Leftarrow \lnot B$

$\displaystyle \textrm{Äquivalenz:}\quad$ $\displaystyle A \Leftrightarrow B$ $\displaystyle \quad =\quad (A \land B) \lor (\lnot A \land \lnot B)$

$\displaystyle \textrm{Antivalenz:}\quad$ $\displaystyle A \not\equiv B$ $\displaystyle \quad =\quad (A \land \lnot B) \lor (\lnot A \land B)$

Die alternativen Formulierungen werden oft in Beweisen benutzt.

Ein logischer Ausdruck, der unabhängig vom Wahrheitswert der auftretenden Aussagen immer wahr bzw. immer falsch ist, wird als Tautologie bzw. Kontradiktion bezeichnet. Ein solcher Ausdruck kann bei einer Umformung durch w (oder ) bzw. f (oder 0) ersetzt werden. Insbesondere gelten die Identitäten:

$\displaystyle A \lor \lnot A = \mathrm{w}$	$\displaystyle \textrm{bzw.}$	$\displaystyle A\land \lnot A = \mathrm{f}\,,$
$\displaystyle A \lor \mathrm{w} = \mathrm{w}$	$\displaystyle \textrm{bzw.}$	$\displaystyle A\land \mathrm{w} = A\,,$
$\displaystyle A \lor \mathrm{f} = A$	$\displaystyle \textrm{bzw.}$	$\displaystyle A\land \mathrm{f} = \mathrm{f}\,.$

Die De Morganschen Regeln und die Distributivgesetze lassen sich zeigen, indem man alle Möglichkeiten für die Wahrheitswerte der Aussagen untersucht. Für die erste De Morgansche Regel ist dies in der folgenden Tabelle illustriert.

		$A\land B$	$\lnot A$	$\lnot B$	$\lnot(A\land B)$ , $(\lnot A)\lor(\lnot B)$
w	w	w	f	f	f
w	f	f	f	w	w
f	w	f	w	f	w
f	f	f	w	w	w

Die äquivalenten Beschreibungen für die Implikation, die Äquivalenz und die Antivalenz folgen unmittelbar aus den Definitionen.

(Autoren: Höllig/Hörner)

Zur Illustration der logischen Regeln wird die Aussage

$\displaystyle \underbrace{\vert x-1\vert>1}_{A} \Longrightarrow \underbrace{(x<0)\lor(x>2)}_{B}$

umgeformt.

Anwendung der Morganschen Regel liefert

$\displaystyle \lnot B = \lnot(x<0) \land \lnot(x>2) = (x\ge0)\land(x\le 2) \,.$

Folglich ist die Implikation $A\Rightarrow B$ äquivalent zu der Aussage

$\displaystyle \vert x-1\vert\le1 \Longleftarrow 0\le x\le 2 \,.$

Dieses Ergebnis erhält man auch, indem man die Implikation definitionsgemäß durch

$\displaystyle (\lnot A)\lor B = \vert x-1\vert\le 1 \lor \lnot(0\le x\le 2)$

ersetzt.

(Autoren: Höllig/Hörner)

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automatisch erstellt am 5.5.2011

$\displaystyle (A\land B)\land C$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A \land (B \land C)$
$\displaystyle (A\lor B)\lor C$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A \lor (B \lor C)$

$\displaystyle A\land B$	$\displaystyle =$	$\displaystyle B \land A$
$\displaystyle A\lor B$	$\displaystyle =$	$\displaystyle B \lor A$

$\displaystyle \lnot(A\land B)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\lnot A) \lor (\lnot B)$
$\displaystyle \lnot(A\lor B)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\lnot A) \land (\lnot B)$

$\displaystyle (A\land B)\lor C$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (A\lor C) \land (B\lor C)$
$\displaystyle (A\lor B)\land C$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (A\land C) \lor (B\land C)$

$\displaystyle \lnot(\lnot A)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A$
$\displaystyle A\land A$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A$
$\displaystyle A\lor A$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A$

$\displaystyle \textrm{Implikation:}\quad$	$\displaystyle A \Rightarrow B$	$\displaystyle \quad =\quad \lnot A \lor B \quad =\quad \lnot A \Leftarrow \lnot B$
$\displaystyle \textrm{Äquivalenz:}\quad$	$\displaystyle A \Leftrightarrow B$	$\displaystyle \quad =\quad (A \land B) \lor (\lnot A \land \lnot B)$
$\displaystyle \textrm{Antivalenz:}\quad$	$\displaystyle A \not\equiv B$	$\displaystyle \quad =\quad (A \land \lnot B) \lor (\lnot A \land B)$