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Mathematik-Online-Kurs: Vektorrechnung - Koordinaten

Kugelkoordinaten

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Ein Punkt $ P=(x,y,z)$ kann durch seinen Abstand $ r=\vert\overline{OP}\vert$ zum Ursprung, den Winkel $ \varphi$ zwischen der $ x$ -Achse und der Projektion von $ \overline{OP}$ auf die $ xy$ -Ebene und dem Winkel $ \vartheta\in[0,\pi]$ zwischen $ \overline{OP}$ und der $ z$ -Achse dargestellt werden. Der Winkel $ \varphi$ ist nur bis auf ein Vielfaches von $ 2\pi$ bestimmt. Als Standardbereich wird meist $ \varphi\in (-\pi,\pi]$ vereinbart.

\includegraphics[width=.6\linewidth]{kugelkoordinaten}

Es gilt

$\displaystyle x = r\cos \varphi \sin \vartheta ,\quad y = r\sin \varphi \sin \vartheta ,\quad z = r\cos \vartheta $

bzw.

$\displaystyle r = \sqrt{x^2+y^2+z^2},\quad \varphi = \arctan(y/x),\quad \vartheta = \arccos(z/\sqrt{x^2+y^2+z^2})\,, $

wobei je nach Vorzeichen von $ x,y$ und $ z$ ein geeigneter Zweig des Arcustangens zu wählen ist. Mit dem Hauptzweig-Winkel $ \varphi_H=\arctan(y/x)\in(-\pi/2,\pi/2)$ gilt

$\displaystyle \varphi=\begin{cases} \varphi_H, & \text{für } x>0, \\ \operator... ...0 \wedge y\geq 0, \\ \varphi_H-\pi, & \text{für } x<0 \wedge y< 0. \end{cases}$

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  automatisch erstellt am 17.3.2011