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Mathematik-Online-Kurs: Vektorrechnung - Koordinaten

Zylinderkoordinaten

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Ein Punkt $ P=(x,y,z)$ kann durch den Winkel $ \varphi$ zwischen der $ x$ -Achse und der Projektion von $ \overline{OP}$ auf die $ xy$ -Ebene, die Länge $ \varrho$ der Projektion und die $ z$ -Koordinate dargestellt werden. Der Winkel $ \varphi$ ist nur bis auf ein Vielfaches von $ 2\pi$ bestimmt. Als Standardbereich wird meist $ \varphi\in (-\pi,\pi]$ vereinbart.

\includegraphics[width=.6\linewidth]{zylinderkoordinaten}

Es gilt

$\displaystyle x = \varrho\cos \varphi ,\quad y = \varrho\sin \varphi ,\quad z = z $

bzw.

$\displaystyle \varrho = \sqrt{x^2+y^2},\quad \varphi = \arctan(y/x),\quad z = z\, , $

wobei je nach Vorzeichen von $ x$ und $ y$ ein geeigneter Zweig des Arcustangens zu wählen ist. Mit dem Hauptzweig-Winkel $ \varphi_H=\arctan(y/x)\in(-\pi/2,\pi/2)$ gilt

$\displaystyle \varphi=\begin{cases} \varphi_H, & \text{für } x>0, \\ \operator... ...0 \wedge y\geq 0, \\ \varphi_H-\pi, & \text{für } x<0 \wedge y< 0. \end{cases}$

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  automatisch erstellt am 17.3.2011