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Mathematik-Online-Kurs: Vektorrechnung - Geraden

Abstand zweier Geraden

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Der Abstand zweier durch die Punkte $ P$ , $ Q$ und Richtungen $ \vec{u}$ , $ \vec{v}$ gegebener Geraden ist

$\displaystyle d = \frac{\vert[\overrightarrow{PQ},\vec{u},\vec{v}]\vert} {\vert\vec{u}\times\vec{v}\vert}\, , $

falls $ \vec{u}\not\parallel\vec{v}$ . Für parallele Geraden gilt

$\displaystyle d = \frac{\vert\overrightarrow{PQ}\times\vec{u}\vert} {\vert\vec{u}\vert}\, . $

\includegraphics[width=11cm]{a_abstand_gerade_gerade_bild}

Man bezeichnet zwei Geraden als windschief, wenn sie nicht parallel sind und einen positiven Abstand haben.

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Geht man von den vereinfachenden Annahmen aus, dass Flugzeuge auf direktem Weg vom Start zum Ziel fliegen und die Flugbahn aus Geradenstücken besteht, so erhält man für einen Flug von Stuttgart ($ S$ ) nach Kopenhagen die Steigflugbahn

$\displaystyle g: \overrightarrow{SX} = s\left(\begin{array}{r}8\\ 16\\ 1\end{array}\right)\,,\quad s\in [0,8] $

und für einen Flug von Frankfurt ($ F$ ) nach Kairo

$\displaystyle h: \overrightarrow{FX} = t\left(\begin{array}{r}34\\ -31\\ 4\end{array}\right)\,, \quad t\in[0,3]\,. $

Legt man den Koordinatenursprung nach Stuttgart, so hat Frankfurt die Koordinaten $ F=(-50,150,-1/4)$ , gemessen in Kilometern. Die beiden Flugbahnen haben somit einen Abstand von


$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{ \left\vert\left(\left(\begin{array}{r}-50\\ 150\\ -1/4\end... ...}\right)\times \left(\begin{array}{r}34\\ -31\\ 4\end{array}\right)\right\vert}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{ \left\vert\left(\begin{array}{r}-50\\ 150\\ -1/4\end{array... ...\right\vert} {\sqrt{95^2+2^2+792^2}} =\frac{4252}{\sqrt{636293}}\approx 5.33\,.$  

\includegraphics[width=10.4cm]{b_flugkorridore_bild}

(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 17.3.2011