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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Extremwerte und Kurvendiskussion

Asymptoten

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Eine lineare Funktion $ p(x) = ax + b$ ist eine Asymptote von $ f$ , wenn

$\displaystyle f(x)-p(x) \to 0$   für$\displaystyle \quad x\to\infty\ $   oder$\displaystyle \ x\to-\infty\,. $

\includegraphics[width=8.4cm]{Asymptote.eps}

Wie in der Abbildung illustriert, beschreibt eine Asymptote das Verhalten der Funktion $ f$ für große $ x$ .

Um die Asymptoten der Funktion

$\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{2+e^{x}} $

zu bestimmen werden die Grenzwerte $ x \rightarrow \pm\,\infty$ separat betrachtet.

\includegraphics[width=8.4cm]{bsp_asymptote_2}

Für $ x \rightarrow \infty$ ist

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,f(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\frac{(x+1)\cdot e^{-x}}{2\cdot e^{-x} + 1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{0}{0 + 1} = 0\,.$  

Damit ist die x-Achse Asymptote.

Für $ x \rightarrow -\infty$ strebt $ e^{x}$ gegen 0 und

$\displaystyle p(x) = \frac{x+1}{2} $

ist Asymptote.
(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009