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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Extremwerte und Kurvendiskussion

Asymptoten rationaler Funktionen

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Eine rationale Funktion

$\displaystyle r(x)=\frac{p(x)}{q(x)} $

hat genau dann eine lineare Asymptote, wenn Grad $ p \leq$   Grad $ q+1$ .

Für Grad $ p <$   Grad $ q$ gilt

$\displaystyle \lim_{p\rightarrow \pm \infty}r(x)=0\,, $

d.h. die $ x$ -Achse ist Asymptote.
\includegraphics[width=0.4\moimageheight]{asymptoten1.eps}          \includegraphics[width=0.4\moimageheight]{asymptoten2.eps}          \includegraphics[width=0.4\moimageheight]{asymptoten3.eps}
Für Grad $ q \leq$   Grad $ p \leq$   Grad $ q+1$ erhält man die lineare Asymptote mit Polynomdivision:

$\displaystyle r(x)=ax+b+\frac{\tilde{p}(x)}{q(x)} $

mit Grad $ \tilde{p} <$   Grad $ q$ . Die Asymptote ist waagrecht $ (a=0)$ , falls Grad $ p =$   Grad $ q$ . Ist der Zählergrad um mehr als eins größer als der Nennergrad, so wird $ r(x)$ für große $ x$ durch ein Polynom vom Grad $ \geq 2$ approximiert.

(Autoren: Höllig/Hörner)
Für die rationalen Funktionen

$\displaystyle r_1 = \frac{4x+3}{2x+1}$   und$\displaystyle \qquad r_2 = \frac{2x^2}{x+1} $

erhält man durch Polynomdivision

$\displaystyle r_1(x) = 0x + 2 + \frac{1}{2x+1}$   und$\displaystyle \qquad r_2(x) = 2x -2 + \frac{2}{x+1} $

die Asymptoten

$\displaystyle y_1 = 2$   und$\displaystyle \qquad y_2 = 2x-2\,. $

Diese zwei Beispiele sind in den folgenden Abbildungen gezeigt.
\includegraphics[width=7.4cm]{bsp_asymptote1_1.eps} \includegraphics[width=7.4cm]{bsp_asymptote2_1.eps}
(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009