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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Integralrechnung

Riemann-Integral

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Das bestimmte Integral einer stückweise stetigen Funktion $ f$ ist durch

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\vert\Delta\vert\to0} \int_a^b f_\Delta = \lim_{\vert\Delta\vert\to0} \sum_{k} f(\xi_k)\,\Delta x_k $

definiert. Dabei bezeichnet $ \Delta:\,a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ eine Zerlegung von $ [a,b]$,

$\displaystyle \vert\Delta\vert=\max_k \Delta x_k\,, \qquad \Delta x_k=x_k-x_{k-1}\,, $

ist die maximale Intervallänge und $ \xi_k$ ein beliebiger Punkt im $ k$-ten Intervall. Die Summen auf der rechten Seite der Integraldefinition werden Riemann-Summen genannt.

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{riemann_bild}

Für positives $ f$ entspricht $ \int_a^b f(x)\,dx$ dem Inhalt der Fläche unterhalb dem Graphen von $ f$.

Zur Berechnung von $ \int_0^1 x^2\,dx$ mit Riemann-Summen wird die Folge von Partitionen

$\displaystyle \Delta_n: x_i= i/n,\quad i=0,\ldots,n \,, $

mit den Auswertungsstellen

$\displaystyle \xi_i=(2i-1)/(2n),\quad i=1,\ldots,n \,, $

gewählt.

Die Riemann-Summen sind dann

$\displaystyle \int f_{\Delta_n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\left(\frac{2i-1}{2n}\right)^2 = \frac{1}{4n^3} \left(4\sum_{i=1}^n i^2-4 \sum_{i=1}^n i + \sum_{i=1}^n 1\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{4n^3} \left( \frac{4n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{4n(n+1)}{2} +n \right) = \frac{1}{3} -\frac{1}{12n^2}$  

mit dem Grenzwert

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_{\Delta_n} = \frac{1}{3} \,. $

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  automatisch erstellt am 23.10.2009